菜鸟关于四维空间的几个问题~~~

1. 菜鸟关于四维空间的几个问题~~~

我们在讨论维度的时候 通常会建立N维空间的维度概念。 
　　在数学上 一个维度中两点间距离R通常满足以下公式 
　　1维空间：a=R 
　　2维空间（勾股定理）：a2+b2=R2 
　　3维空间：a2+b2+c2=R2 
　　4维空间：a2+b2+c2+d2=R2 
　　以此类推……
根据爱因斯坦的概念，我们的宇宙是由时间和空间构成。时空的关系，是在空间的架构上比普通三维空间的长、宽、高三条轴外又多了一条时间轴
所以说，额……
是长，宽，高，和时光轴

2. 第四维的理论发展

一.作为时间的第四维数主条目：时空当人们说到“四维空间”时，经常指的都是关于时间的概念。在这种情况下，四维空间可以理解为三维空间附加一条时间轴。这种空间叫做闵可夫斯基时空或“(3 + 1)-空间”。这也是爱因斯坦在他的广义相对论和狭义相对论中提及的四维时空概念。二.作为空间的第四维数第四维数可以用空间的方式理解，即一个有四个空间性维数的空间（“纯空间性”的四维空间），或者说有四个两两正交的运动方向的空间。这种空间就是数学家们用来研究四维几何物体的空间，与爱因斯坦提出的时间作为第四维数的理论不同。关于这一点，考克斯特曾写道：把时间作为第四维数带来的好处即使有的话也是微不足道的。实际上，H. G. 威尔在《时间机器》中发展的这种十分吸引人的观点导致了J. W. 杜恩（《时间实验》）等作者对相对论的非常错误的理解。闵可夫斯基的时空几何是不符合欧几里得体系的，所以也就与当前的研究没有关系。- H. S. M. 考克斯特，Regular Polytopes从数学方面讲，普通三维空间集合的四维等价物是欧几里得四维空间，一个四维欧几里得赋范向量空间。一个向量的“长度”以标准基底表示也就是勾股定理向四维空间进行的很自然的类比，这就让两个向量之间的夹角很容易定义了。

3. 4D的相关理论

闵可夫斯基“四维空间”是对现实世界空间和时间的歪曲爱因斯坦相对论批判之59　　闵可夫斯基四维空间　　一个人如果不是数学家，当他听到“四维”的事物时，会激发一种象想起神怪事物时所产生的感觉而惊异起来。可是。我们所居住的世界是一个四维空时连续区这句话却是再平凡不过的说法。　　爱因斯坦：《狭义与广义相对论浅说》　　=================　　1.空间是事物存在范围的大小，时间是事物变化过程的长短，空间和时间有本质区别，绝不能混为一谈。空间可以从长、宽、高三个方向量度，所以空间是三维的，但时间不能从长、宽、高三个方向量度，只能从事物变化过程来量度，所以时间无维。现实世界的空间和时间是三维空间和无维时间，可是闵可夫斯基却把时间的无维看作是空间的一维，把它当作一维空间加到三维空间上去，进而臆造了“四维空间”，从根本上歪曲了现实世界的空间和时间，陷入了谬误。　　2.当一个不是数学家的人听一个数学家说“四维”的事物时之所以会“惊异起来”，是因为他简直不敢相信，数学家居然也会胡说八道。的确，数学家也会胡说八道，如果他们的说法歪曲了客观事实及其规律的话。　　3.我们所居住的现实世界是物质世界，其空间是三维的，其时间是无维的，所谓“我们所居住的世界是一个四维空时连续区”这句话纯粹是胡说八道，因为它歪曲了现实世界的本来面貌。本来现实世界的空间既有“连续区”也有“非连续区”，可是这句话却片面地只讲“连续区”不讲“非连续区”，肆意抹杀“非连续区”，陷入了谬误；本来现实世界的空间和时间有本质区别，绝不能混为一谈，可是这句话却用“空时”将空间和时间完全混为一谈，陷入了谬误；本来现实世界的空间是三维的，时间是无维的，空间和时间的总维数是3+0=3，可是这句话却把空间和时间的总维数说成是3+1=4（“四维”），陷入了谬误。总之，这句话是歪曲现实世界空间和时间的荒谬说法。作为时间的第四维数当人们说到“四维空间”时，经常指的都是关于时间的概念。在这种情况下，四维空间可以理解为三维空间附加一条时间轴。这种空间叫做闵可夫斯基时空或“(3 + 1)-空间”。这也是爱因斯坦在他的广义相对论和狭义相对论中提及的四维时空概念。作为空间的第四维数第四维数可以用空间的方式理解，即一个有四个空间性维数的空间（“纯空间性”的四维空间），或者说有四个两两正交的运动方向的空间。这种空间就是数学家们用来研究四维几何物体的空间，与爱因斯坦提出的时间作为第四维数的理论不同。关于这一点，考克斯特曾写道：把时间作为第四维数带来的好处即使有的话也是微不足道的。实际上，H. G. 威尔在《时间机器》中发展的这种十分吸引人的观点导致了J. W. 杜恩（《时间实验》）等作者对相对论的非常错误的理解。闵可夫斯基的时空几何是不符合欧几里得体系的，所以也就与当前的研究没有关系。- H. S. M. 考克斯特数学方面从数学方面讲，普通三维空间集合的四维等价物是欧几里得四维空间，一个四维欧几里得赋范向量空间。一个向量的“长度”:X=(p,q,r,s)以标准基底表示就是:||X||=也就是勾股定理向四维空间进行的很自然的类比。这就让两个向量之间的夹角很容易定义了（参见欧几里得空间）。正交性在我们熟悉的三维空间里，有三对主要方向：上下（高度），南北（纬度），东西（经度）。这三对方向两两正交，也就是说，它们两两成直角。从数学方面讲，它们在三条不同的坐标轴x、y、z上。计算机图形学中讲的深度缓冲指的就是这条z轴，在计算机的二维屏幕上代表深度。纯空间性的四维空间另有一对垂直于其他三个主要方向的主要方向。这一对方向处在另一条同时垂直于x、y、z轴的坐标轴上，通常称作w轴。对这两个方向的命名，人们的看法不一。一些现行的命名有安娜/卡塔，斯皮希图/斯帕提图，维因/维奥，和宇普西龙/德尔塔。这些额外的方向处于（实际上是垂直于）我们所能观察到的三维世界中的方向之外。

4. 给空间增加一个维度，世界将会怎样

现在是三维，如果多一个是四维　　第四维度也可以用空间的方式理解，即一个有四个空间性维度的空间（“纯空间性”的四维空间），或者说有四个两两正交的运动方向的空间。这种空间就是数学家们用来研究四维几何物体的空间，与爱因斯坦提出的时间作为第四维度的理论不同。
　　如果说我们认为爱因斯坦的理论是正确的话，c相对于任何参考系不变，则一个以c运动的物体会遇到一条2c速度运动的光，而光的频率增大，能量增大，要想超越原来的速度，必须要无限大无限大的能量（即使是没有内禀质量的光量子达到光速也要无限能量），我们假设频率无限大，则波长必然无限小*2，相对于c的波长越短，以c运动物体（设为A）的相对时间就会越快，也就是永远无法达到时光倒流。
　　如果我们认为爱因斯坦是错误的，c相对任何参考系可能改变，当A速度为c时，光的波长=无限大，光成为一条直线，我们可以理解现在的光量子成为排成一条直线的连续“波”，此时我们的A如果背向一个信息源，这个信息源发出的所有信息我们都无法接收到，我们看到的就是这个信息源在我们运动开始的一瞬间的状态，而如果我们速度稍微小于光速，则和相对论的预言将会一样，时间会变慢，波长会增大，如果我们的速度大于光速，则背向信息源运动可以看到这个信息源以前发出的信息，相向信息源发出的光运动，可以提前看到未来，如果说我们处于一大堆信息源围成的立体几何体中央，我们必然要在背离一个信息源（时间倒流）的同时选择靠近一个信息源（看到未来），所以说如果时光倒流可能成立，我们只能像一个背离所有空间方向的方向运动，如同在一条线（左右）上的点向前后移动，比如一个面（前后左右）上的点向上下移动，所以运动的物体必然要向一个处于这个空间中，但是可以背离所有物体的方向运动。
　　（虚）实时间是矢量，必须有大小和方向。
　　如果根本不存在时光倒流，我们也可以通过理论得出这样一个维度存在的结论，通过实验或许能够测量出这个维度与我们现实世界的三个维度的夹角度数（因为被严重卷曲所以不是垂直），暂时没有人资助这个实验，但是将来有指望进行证实。
　　关于这一点，考克斯特曾写道：
　　把时间作为第四维度带来的好处即使有的话也是微不足道的。
　　实际上，H. G. 威尔在《时间机器》中发展的这种十分吸引人的观点导致了J. W. 杜恩（《时间实验》）等作者对相对论的非常错误的理解。闵可夫斯基的时空几何是不符合欧几里得体系的，所以也就与当前的研究没有关系。
　　从数学方面讲，普通三维空间集合的四维等价物是欧几里得四维空间，一个四维欧几里得赋范向量空间。一个向量的“长度”x=(p,q,r,s)以标准基底表示就是也就是勾股定理向四维空间进行的很自然的类比。这就让两个向量之间的夹角很容易定义了。
　　正交性
　　在我们熟悉的三维空间里，有三对主要方向：上下（高度），南北（纬度），东西（经度）。这三对方向两两正交，也就是说，它们两两成直角。从数学方面讲，它们在三条不同的坐标轴x、y、z上。计算机图形学中讲的深度缓冲指的就是这条z轴，在计算机的二维屏幕上代表深度。
　　纯空间性的四维空间另有一对垂直于其他三个主要方向的主要方向。这一对方向处在另一条同时垂直于x、y、z轴的坐标轴上，通常称作w轴。对这两个方向的命名，人们的看法不一。一些现行的命名有安娜/卡塔，斯皮希图/斯帕提图，维因/维奥，和宇普西龙/德尔塔。这些额外的方向处于（实际上是垂直于）我们所能观察到的三维世界中的方向之外。

5. 勾股定理题目!!会的进来啊!!

LZ好，世界近代三大数学难题之一四色猜想 



四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 



1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。 



1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色 猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战 。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 



11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 



进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。 

-------- 

世界近代三大数学难题之一 费马最后定理 



被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有 

关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是「在陈年数学困局中，终於有人呼叫『 

我找到了』」。时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的 

男人照片。这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马 

小传请参考附录）。费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极 

大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以「业余王子 

」之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的 

数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内 

容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定 

理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之 

两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有 

整数解（其实有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13… 

等等。 



费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 +y3=z3就无法 

找到整数解。 



当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙 

法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百 

多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最 

后定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而后快。 



十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六0年两度悬赏金质奖章和 

三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫 

斯克尔（P?Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最后定理是正确的人， 

有效期间为100年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然 

如此仍然吸引不少的「数学痴」。 



二十世纪电脑发展以后，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的 

，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确 

的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。 



虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解 

决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是 

利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。 



五0年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，后来由另一位数学家志 

村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八0年代德 

国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联 

论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。这个结论 

由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报 

告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的 

证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以 

修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6 

月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金 

，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。 

要证明费马最后定理是正确的 

（即xn + yn = zn 对n33 均无正整数解） 

只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P为奇质数)，都没有整数解。 

---------------- 

世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想 



哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。 1742年6月7日，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3．3亿，都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。欧拉一直到死也没有对此作出证明。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠，“在距离哥德巴赫猜想(1＋1)的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……”在他身后，将会有更多的人去攀登这座高峰。 









一 数学基础问题。 

1、 数是什么？ 

2、 四则运算是什么？ 

3、 加法和乘法为什么符合交换律，结合律，分配律？ 

4、 几何图形是什么？ 





二 几个未解的题。 

1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=? 

更一般地： 

当k为奇数时 求 

(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=? 

背景： 

欧拉求出： 

(1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6 



并且当k为偶数时的表达式。 

2、e+π的超越性 

背景 

此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。 

已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。 



3、素数问题。 

证明： 

ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … 



(s属于复数域) 

所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。 



背景： 

此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。 

美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。 

希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。 



引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？ 



4、 存在奇完全数吗？ 



背景： 

所谓完全数，就是等于其因子的和的数。 

前三个完全数是： 

6=1+2+3 

28=1+2+4+7+14 

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 

目前已知的32个完全数全部是偶数。 

1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则： 

n>10^50 



5、 除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？ 



背景： 

这是卡塔兰猜想（1842）。 

1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。 

1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。 

但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。 

所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。 





6、 任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？ 



背景： 

这角古猜想（1930）。 

人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。 





三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。 

1、问题1连续统假设。 

全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。 

背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。 

1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。 

所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。 

2、问题2 算术公理相容性。 

背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。 

3、 问题7 某些数的无理性和超越性。 

见上面 二 的 2 

5、 问题 8 素数问题。 

见上面 二 的 3 

6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。 

背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。 

7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。 

背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。 

8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。 

背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。 

9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。 

背景： 代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。 

10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。 

要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。 

11、 问题 18 用全等多面体来构造空间。 

无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。 

12、 问题 20 一般边值问题。 

偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。 

13、 问题 23 变分法的进一步发展。 





四 千禧七大难题 

2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。 



1、 黎曼猜想。 

见 二 的 3 

透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。 

这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数 

学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、 

椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。 



2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap 

Hypothesis) 

西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由 

数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子 

物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。 



杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们 

碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果 

是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷 

的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定 

该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质 

量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。 



3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems) 

随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。 



P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已 

知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下 

就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个 

算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进来 

的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是 

Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。 



由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有 

些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这 

就是相当著名的PNP 问题。 



4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations） 

因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了 

新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学 

推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。 



自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托 

克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道 

的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方 

程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解？再者就是证 

明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。 



解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱 

流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥 

地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维 

尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两 

者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳 

维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。 



5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture) 

庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的 

三维闭流形与三维球面同胚。 

从数学的意义上说这是一个看似简单却又非 

常困难的问题，自庞加莱在西元1904 年提出之 

后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。 

庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将 

之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的 



≥ 



n(n4)维闭流形，如果与n 



≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。 



经过近60 年后，西元1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以 

巧妙的方法，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的 



≥ 

广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。经过20年之 

后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆 

测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真 

正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。 



= 



一直到西元2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於 

麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许 

多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「纽约时报」首 

次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同 

日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测 



被证明了，这次是真的！」[14]。 



数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现 

斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。 



6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-Dyer 

Conjecture） 

一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ，在计算椭圆之弧长时 

就会遇见这种曲线。自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、 





几何、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（Wiles）证明费马 

最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与 

椭圆曲线有关。 



60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些 

多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限 

呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余(congruence)这个观念 

并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷 

多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与 

黎曼猜想之Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他 

们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结 

果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的 



Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0，即ζ (1) 



；当s1= 0 





7.霍奇臆测(Hodge Conjecture) 

「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之 

上同调类的有理组合。」 

最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可 

能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象 

参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾》       12963希望对你有帮助！

6. 四维度空间应该怎样理解？

为什么四维空间那么难以理解 如何才能认知跨维度的空间

7. 四维空间中可以有垂直的概念么？

高维空间是数学意义上的抽象空间，不能直观地理解为垂直就是90度，那是没法想象的。

垂直的确切定义是两个向量内积为零。在狭义相对论的情况下，这里的向量内积定义和楼上说的高等代数中的矢量空间章节是对的。
用数学表示两个向量A（x1,x2,x3,x4,……xn）B（y1,y2,y3,y4,……yn），那么可以计算内积为AB'=x1y1+x2y2+x3y3+……+xnyn，这里B'表示转置，行向量变为列向量。如果这个值是0，那么就是正交（即垂直）

但在广义相对论中，需要考虑的空间不是一般意义上的空间，而是黎曼空间，不能再参考高等代数的矢量空间的内容了。它的垂直的定义也是内积为0，但是内积的表达形式有所变化，因为需要考虑空间的曲率，需要在有空间的度规（度规决定了空间的性质）来修正。
这时数学上的表达为GAB'，其中G为一个张量，广义相对论中取的是二阶张量，包含了16个元素，是一个对称的4*4矩阵。其元素有空间点的曲率决定，曲率的确定就要参考数学分析了。所以楼上有人说参考数学分析是搞笑，显然是无知。

还有更复杂的公式就不罗列了，如果搂主还不明白可以找我聊。

8. 我们所认知的宇宙究竟一共有多少维空间？详解？

多维空间  “维”是一种度量，在三维空间坐标上，加上时间，时空互相联系，就构成四维时空。现在科学家的理论认为整个宇宙是十一维的，只是人类的理解只能理解到3维，打个比喻：一个智能生物生活在我们周围，但只能理解二维，那它就处在二维世界了吗？但在它们周围的我们却分明认为是三维，双方都是智能生物，谁对谁错！？？  0维：没有长宽高，单纯的一个点，如奇点。  一维 只有长度  二维 平面世界 只有长宽  三维 长宽高 立体世界 我们肉眼亲身感觉到看到的世界 三维空间是点的位置由三个坐标决定的空间。客观存在的现实空间就是三维空间，具有长、宽、高三种度量。数学、物理等学科中引进的多维空间概念，是在三维空间基础上所作的科学抽象。  四维 一个时空的概念 日常生活所提及的“四维空间”，大多数都是指阿尔伯特·爱因斯坦在他的《广义相对论》和《狭义相对论》中提及的“四维时空”概念。我们的宇宙是由时间和空间构成。时空的关系，是在空间的架构上比普通三维空间的长、宽、高三条轴外又加了一条时间轴，而这条时间的轴是一条虚数值的轴。根据阿尔伯特·爱因斯坦相对论所说：我们生活中所面对的三维空间加上时间构成所谓四维空间。  一维是线，二维是面，三维是静态空间，四维是动态空间（因为有了时间）。  我们在物理学中描述某一变化着的事件时 所必须的变化的参数。这个参数就叫做维。几个参数就是几个维。比如描述“门”的位置就只需要角度所以是一维的 而不是二维  简单地说：0维是点，没有长、宽、高。一维是由无数的点组成的一条线，只有长度，没有宽、高。二维是由无数的线组成的面，有长、宽没有高。三维是由无数的面组成的体，有长宽高。维可以理解成方向。  因为人的眼睛只能看到三维，所以三维以上很难解释。正如一个智力正常,先天没有一只眼睛,一只耳朵的人(太悲哀了.这样就没有双眼效应,双耳效应),他就很难理解距离了,他很可能认为这个世界是2维的.  一个简单的说法：N维就是N条直线两两垂直所形成的空间  因为，人类只能理解到3维，所以后面的维度可以通过数学理论构建，但要仔细理解就很难.在量子力学,目前仍在建立的膜理论,认为世界是11维的.