如图，△ABC中，F为BC的中点，FD⊥BC交∠BAC的平分线于D，DE⊥AC于E，求证AB+AC

1. 如图，△ABC中，F为BC的中点，FD⊥BC交∠BAC的平分线于D，DE⊥AC于E，求证AB+AC

证明：
过点D作DG⊥AB，交AB延长线于G，连接BD、CD、
∵AD平分∠BAC，
∴∠GAD=∠FAD，
∵DG⊥AB，DE⊥AC，
∴∠AGD=∠AED=90°，
又∵AD=AD，
∴△AGD≌△AED（AAS），
∴AG=AE，DG=DE，
∵点F是BC的中点，DG⊥BC，
∴DF垂直平分BC，
∴BD=CD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
又∵∠DGB=∠DEC=90°，
∴Rt△DGB≌Rt△DEC（HL），
∴BG=CE，
∵AB=AG-BG=AE-CE，
AC=AE+CE，
∴AB+AC=2AE。

2. 如图，△ABC中，F为BC的中点，FD⊥BC交∠BAC的平分线于D，DE⊥AC于E，求证AB+AC

证明：
过点D作DG⊥AB，交AB延长线于G，连接BD、CD、
∵AD平分∠BAC，
∴∠GAD=∠FAD，
∵DG⊥AB，DE⊥AC，
∴∠AGD=∠AED=90°，
又∵AD=AD，
∴△AGD≌△AED（AAS），
∴AG=AE，DG=DE，
∵点F是BC的中点，DG⊥BC，
∴DF垂直平分BC，
∴BD=CD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
又∵∠DGB=∠DEC=90°，
∴Rt△DGB≌Rt△DEC（HL），
∴BG=CE，
∵AB=AG-BG=AE-CE，
  AC=AE+CE，
∴AB+AC=2AE

3. 如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC延长线于

证明：连接BE、EC，∵ED⊥BC，D为BC中点，∴BE=EC，∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE=EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，BE＝CEEF＝EG，∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），∴BF=CG．

4. 已知，如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延长线于G

5. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC延长线于G. 求证：BF

     见解析         证明：连接EB、EC，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF=EG，又∵D为BC中点，ED⊥BC，∴EB=EC，可证Rt△BEF≌Rt△CEG，∴BF=CG．连接EB、EC，利用已知条件证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF=CG    

6. 如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延长线于G．求证：

 证明：连接BE、EC，∵ED⊥BC，D为BC中点，∴BE=EC，∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE=EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中 BE＝CEEF＝EG，∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），∴BF=CG

7. 如图,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AC的延长线于G，则BF＝C

连BE.CE
证BEF与EGC全等
因为他们都是直角三角形
只要证HL
EF=CE（角平分线的性质）-------直角边
因为 BD=CD,DE垂直BC
所以BE=CE（垂直平分线的性质）---------斜边
搞定！


亲。望采纳。

8. 如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交角BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于E，EG⊥AC

连接BE ,CE （1）角平分线到两边距离相等 => EF=CE
                   (2)      EF⊥AB,EG⊥AC   => ∠BFE=∠EGC     =>    △BFE全等于△CGE
                 (3)   DE⊥CB,BD=CD   =>BE=EC

 =>BF=CG