求高数题，奥数题
2024-05-06 03:13
1. 求高数题，奥数题
1．已知
kibkjia3,32，则
ba,夹角的余弦等于 .
2．曲线1
132yyzx在点
31,1,1处的切线与z轴正向所成的倾角为 .
3．设.40,10:yxD则dxD
3等于 .
4．设是柱面222ayx在hz0之间的部分，则积分
dsx2 .
5．设),(vufz具有一阶连续偏导数，其中22,yxvxyu，则x
z
. 6．曲线
1yxy
z在点2,1,2处的切线与x轴正向所成的倾角为 . 7．若),,(000zyx是曲面0),,(zyxF上一点，且在这一点处有2yxFF而22zF，那么
曲面在这一点处的切平面与坐标面xoy所成的二面角是 . 8．当1|),(22yxyxD时，则D
dxdy的值等于
9．级数
1
)21
(nn
nnx
x的收敛域为 . 10．点)1,2,1(M到平面01022zyx的距离是 .
11．由曲线1xy及直线2,yxy所围成图形的面积值是 .
12. 已知
kjibkjia5,432,则向量
bac2在z轴方向上的分向量是 . 13.幂级数
1)2(nn
n
x的收敛区间为 .
14.曲线
bzayaxsincos在xoy平面上的投影曲线是 .
15．级数
19
1
3nnn的和是 .
16．设),,(wvufz而)(),(),,(yFwxvyxu，其中),,(wvuf具有连续的一阶偏导数，
)(),(),,(yFxyx均为可导函数，则
x
z
. 17．
1nn
n
x在1||x的和函数是 .
2. 二项式定理题目的解题方法
var script = document.createElement('script'); script.src = 'http://static.pay.baidu.com/resource/baichuan/ns.js'; document.body.appendChild(script);
2
10
2
1
10
3
4
3
4
1
10
10
(
)
(
)
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
x
C
x
，由题意
10
2
3,
6
4
3
r
r
r
解得
，
则含有
3
x
的项是第
7
项
6
3
3
6
1
10
210
T
C
x
x
,
系数为
210
。
练：求
2
9
1
(
)
2
x
x
展开式中
9
x
的系数？
解：
2
9
18
2
18
3
1
9
9
9
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
C
x
x
C
x
x
，令
18
3
9
r
,
则
3
r
故
9
x
的系数为
3
3
9
1
21
(
)
2
2
C
。
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式
2
10
1
(
)
2
x
x
的展开式中的常数项？
解：
5
20
2
10
2
1
10
10
1
1
(
)
(
)
(
)
2
2
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
C
x
x
，令
5
20
0
2
r
，得
8
r
，所以
8
8
9
10
1
45
(
)
2
256
T
C
练：求二项式
6
1
(2
)
2
x
x
的展开式中的常数项？
解：
6
6
6
2
1
6
6
1
1
(2
)
(
1)
(
)
(
1)
2
(
)
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
C
x
x
，
令
6
2
0
r
，
得
3
r
，
所以
3
3
4
6
(
1)
20
T
C
练：若
2
1
(
)
n
x
x
的二项展开式中第
5
项为常数项，则
____.
n
解：
4
2
4
4
4
2
12
5
1
(
)
(
)
n
n
n
n
T
C
x
C
x
x
，令
2
12
0
n
，得
6
n
.
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：求二项式
9
3
(
)
x
x
展开式中的有理项？
解：
1
27
1
9
3
6
2
1
9
9
(
)
(
)
(
1)
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
x
C
x
，令
27
6
r
Z
,(
0
9
r
)
得
3
9
r
r
或
，
所以当
3
r
时，
27
4
6
r
，
3
3
4
4
4
9
(
1)
84
T
C
x
x
，
当
9
r
时，
27
3
6
r
，
3
9
3
3
10
9
(
1)
T
C
x
x
。
题型五：奇数项的二项式系数和
=
偶数项的二项式系数和；
例：若
2
3
2
1
(
)
n
x
x
展开式中偶数项系数和为
256
，求
n
.
解：设
2
3
2
1
(
)
n
x
x
展开式中各项系数依次设为
0
1
,
,
,
n
a
a
a
1
x
令
,
则有
0
1
0,
n
a
a
a
①，
1
x
令
,
则有
0
1
2
3
(
1)
2
,
n
n
n
a
a
a
a
a
②
将①
-
②得：
1
3
5
2(
)
2
,
n
a
a
a
1
1
3
5
2
,
n
a
a
a
有题意得，
1
8
2
256
2
n
，
9
n
。
练：若
3
5
2
1
1
(
)
n
x
x
的展开式中，所有的奇数项的系数和为
1024
，求它的中间项。
解：
0
2
4
2
1
3
2
1
1
2
r
r
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
C
，
1
2
1024
n
，解得
11
n
所以中间两个项分别为
6,
7
n
n
，
5
6
5
4
3
5
5
1
2
1
1
(
)
(
)
462
n
T
C
x
x
x
，
61
15
6
1
462
T
x
题型六：最大系数，最大项；
例：已知
1
(
2
)
2
n
x
，若展开式中第
5
项，第
6
项与第
7
项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最
大项的系数是多少？
解：
4
6
5
2
2
,
21
98
0,
n
n
n
C
C
C
n
n
解出
7
14
n
n
或
，
当
7
n
时，
展开式中二项式系数最大的项是
4
5
T
T
和
3
4
3
4
7
1
35
(
)
2
,
2
2
T
C
的系数
，
4
3
4
5
7
1
(
)
2
70,
2
T
C
的系数
当
14
n
时，展开式中二项式系数
最大的项是
8
T
，
7
7
7
8
14
1
C
(
)
2
3432
2
T
的系数
。
练：在
2
(
)
n
a
b
的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数
2
n
，则中间一项的二项式系数最大，即
2
1
1
2
n
n
T
T
，也就是第
1
n
项。
练：在
3
1
(
)
2
n
x
x
的展开式中，只有第
5
项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？
解：只有第
5
项的二项式最大，则
1
5
2
n
，即
8
n
,
所以展开式中常数项为第七项等于
6
2
8
1
(
)
7
2
C
例：写出在
7
(
)
a
b
的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数
7
是奇数，所以中间两项
(
4,5
第
项
)
的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有
3
4
3
4
7
T
C
a
b
的系数最小，
4
3
4
5
7
T
C
a
b
系数最大。
例：若展开式前三项的二项式系数和等于
79
，求
1
(
2
)
2
n
x
的展开式中系数最大的项？
解：由
0
1
2
79,
n
n
n
C
C
C
解出
12
n
,
假设
1
r
T
项最大，
12
12
12
1
1
(
2
)
(
)
(1
4
)
2
2
x
x
1
1
1
12
12
1
1
1
2
12
12
4
4
4
4
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
A
A
C
C
A
A
C
C
，化简得到
9.4
10.4
r
，又
0
12
r
，
10
r
，展开式中系
数最大的项为
11
T
,
有
12
10
10
10
10
11
12
1
(
)
4
16896
2
T
C
x
x
练：在
10
(1
2
)
x
的展开式中系数最大的项是多少？
解：假设
1
r
T
项最大，
1
10
2
r
r
r
r
T
C
x
1
1
10
10
1
1
1
1
2
10
10
2
2
2(11
)
1
2(10
)
2
2
,
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
C
C
A
A
r
r
A
A
r
r
C
C
解得
，
化简得到
6.3
7.3
k
，
又
0
10
r
，
7
r
，展开式中系数最大的项为
7
7
7
7
8
10
2
15360
.
T
C
x
x
题型七：含有三项变两项；
例：求当
2
5
(
3
2)
x
x
的展开式中
x
的一次项的系数？
解法①：
2
5
2
5
(
3
2)
[(
2)
3
]
x
x
x
x
，
2
5
1
5
(
2)
(3
)
r
r
r
r
T
C
x
x
，当且仅当
1
r
时，
1
r
T
的展开式中才
有
x
的一次项，此时
1
2
4
1
2
5
(
2)
3
r
T
T
C
x
x
，所以
x
得一次项为
1
4
4
5
4
2
3
C
C
x
它的系数为
1
4
4
5
4
2
3
240
C
C
。
解法②：
2
5
5
5
0
5
1
4
5
0
5
1
4
5
5
5
5
5
5
5
5
(
3
2)
(
1)
(
2)
(
)(
2
2
)
x
x
x
x
C
x
C
x
C
C
x
C
x
C
故展开式中含
x
的项为
4
5
5
4
4
5
5
5
2
2
240
C
xC
C
x
x
，故展开式中
x
的系数为
240.
练：求式子
3
1
(
2)
x
x
的常数项？
解：
3
6
1
1
(
2)
(
)
x
x
x
x
，设第
1
r
项为常数项，则
6
6
2
6
1
6
6
1
(
1)
(
)
(
1)
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
C
x
x
，
得
6
2
0
r
,
3
r
,
3
3
3
1
6
(
1)
20
T
C
.
题型八：两个二项式相乘；
例：
3
4
2
(1
2
)
(1
)
x
x
x
求
展开式中
的系数
.
解：
3
3
3
(1
2
)
(2
)
2
,
m
m
m
m
m
x
x
x
的展开式的通项是
C
C
4
4
4
(1
)
C
(
)
C
1
,
0,1,2,3,
0,1,2,3,4,
n
n
n
n
n
x
x
x
m
n
的展开式的通项是
其中
3
4
2,
0
2,
1
1,
2
0,
(1
2
)
(1
)
m
n
m
n
m
n
m
n
x
x
令
则
且
且
且
因此
2
0
0
2
2
1
1
1
1
2
2
0
0
3
4
3
4
3
4
2
(
1)
2
(
1)
2
(
1)
6
x
C
C
C
C
C
C
的展开式中
的系数等于
.
练：
6
10
3
4
1
(1
)
(1
)
x
x
求
展开式中的常数项
.
解：
4
3
6
10
3
3
4
12
6
10
6
10
4
1
(1
)
(1
)
m
n
m
n
m
n
m
n
x
C
x
C
x
C
C
x
x
展开式的通项为
0,
3,
6,
0,1,
2,
,6,
0,1,
2,
,10,
4
3
,
0,
4,
8,
m
m
m
m
n
m
n
n
n
n
其中
当且仅当
即
或
或
0
0
3
4
6
8
6
10
6
10
6
10
4246
C
C
C
C
C
C
时得展开式中的常数项为
.
练：
2
*
3
1
(1
)(
)
,
2
8,
______.
n
x
x
x
n
N
n
n
x
已知
的展开式中没有常数项
且
则
解：
3
4
3
1
(
)
C
C
,
n
r
n
r
r
r
n
r
n
n
x
x
x
x
x
展开式的通项为
通项分别与前面的三项相乘可得
4
4
1
4
2
C
,C
,C
,
,2
8
r
n
r
r
n
r
r
n
r
n
n
n
x
x
x
n
展开式中不含常数项
4
4
1
4
2
4,8
3,7
2,6,
5.
n
r
n
r
n
r
n
n
n
n
且
且
，即
且
且
题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例：
2006
(
2)
,
,
2
,
_____.
x
x
S
x
S
在
的二项展开式中
含
的奇次幂的项之和为
当
时
解：
2006
1
2
3
2006
0
1
2
3
2006
(
2)
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
设
=
-------
①
2006
1
2
3
2006
0
1
2
3
2006
(
2)
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
=
-------
②
3
5
2005
2006
2006
1
3
5
2005
2(
)
(
2)
(
2)
a
x
a
x
a
x
a
x
x
x
①
②得
2006
2006
2006
1
(
2)
(
)
[(
2)
(
2)
]
2
x
S
x
x
x
展开式的奇次幂项之和为
3
2006
2
2006
2006
3008
1
2
2
,
(
2)
[(
2
2)
(
2
2)
]
2
2
2
x
S
当
时
题型十：赋值法；
例：设二项式
3
1
(3
)
n
x
x
的展开式的各项系数的和为
p
，所有二项式系数的和为
s
,
若
272
p
s
,
则
n
等于多少？
解：若
2
3
0
1
2
1
(3
)
n
n
n
x
a
a
x
a
x
a
x
x
，有
0
1
n
P
a
a
a
，
0
2
n
n
n
n
S
C
C
，
令
1
x
得
4
n
P
，又
272
p
s
,
即
4
2
272
(2
17)(2
16)
0
n
n
n
n
解得
2
16
2
17(
)
n
n
或
舍去
，
4
n
.
练：若
n
x
x
1
3
的展开式中各项系数之和为
64
，则展开式的常数项为多少？
解：令
1
x
，则
n
x
x
1
3
的展开式中各项系数之和为
2
64
n
，所以
6
n
，则展开式的常数项为
3
3
3
6
1
(3
)
(
)
C
x
x
540
.
例：
2009
1
2
3
2009
2009
1
2
0
1
2
3
2009
2
2009
(1
2
)
(
),
2
2
2
a
a
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
x
R
若
则
的值为
解：
2009
2009
1
2
1
2
0
0
2
2009
2
2009
1
,
0,
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
x
a
a
令
可得
2009
1
2
0
2
2009
0
1,
1.
2
2
2
a
a
a
x
a
在令
可得
因而
练：
5
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
(
2)
,
____.
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
a
a
a
a
a
若
则
解：
0
0
1
2
3
4
5
0
32,
1
1,
x
a
x
a
a
a
a
a
a
令
得
令
得
1
2
3
4
5
31.
a
a
a
a
a
题型十一：整除性；
例：证明：
2
2
*
3
8
9(
)
n
n
n
N
能被
64
整除
证：
2
2
1
1
3
8
9
9
8
9
(8
1)
8
9
n
n
n
n
n
n
0
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
8
8
8
8
8
9
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
n
0
1
1
1
2
1
1
1
8
8
8
8(
1)
1
8
9
n
n
n
n
n
n
C
C
C
n
n
0
1
1
1
2
1
1
1
8
8
8
n
n
n
n
n
n
C
C
C
由于各项均能被
64
整除
2
2
*
3
8
9(
)
64
n
n
n
N
能被
整除
3. C语言 使用数组精确计算M / N（0<M<N100）的值。
(a%b)是数学模运算,意思是取(a/b)的余数。a除以b的结果有两部分，一个是商，一个是余数，就跟我们做除法一样。计算机一般作整数除法a/b只能得到商，余数就用a%b得到，它是0到b-1中的一个值。如果a/b能整除，a%b就是0。 !(a%b)是逻辑运算的。
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