黄金比例分割的斐波那契数列

1. 黄金比例分割的斐波那契数列

让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做斐波那契数列（也称兔子数列），这些数被称为斐波那契数。特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→0.618…。由于菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18 。黄金分割点约等于0．618：1是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。线段上有两个这样的点。利用线段上的两黄金分割点，可作出正五角星，正五边形。

2. 斐波那契数列和黄金分割比例有什么关系？

3. 黄金比例其实与斐波拉契数列有关，究竟两者有何关系？

在我们的生活中，与我们息息相关的离不开我们生活的，数学大概占了大部分，它大到做金融分析，小到生活中的柴米油盐酱醋茶。而在生活中，我们却很少关注到数学中黄金比例和斐波拉契数列。

听起来它们好像和我们是没有关系的，可事实上它们无时不刻的存在于我们的身边，就好比黄金比例，黄金比例在学生时代的老师向我们提出过，紧张的高中时期老师说过的黄金比例是最完美的比例。对于建筑师，设计师又或者是做图像处理的人员来说，它都有着不可忽视的重要作用。女孩子爱美想要依靠服装的穿搭来达到身材上的比例，此时黄金比例也起到了重大作用，当你找到了自己的黄金比例点，那么你就可以将自己身材的优势更好的展示出来。

对于我们来说，黄金比例是听说过的，而斐波拉契数列却是鲜少听闻的，其实它也是我们接触过的，只是大家在讨论之间不常说起，也就是所谓的不实用，所以被埋没。其实就单看数列而言，它便是我们常常看见的，无论是高中时期还是大学时期，它都贯穿着我们的课本。其实它并不难理解，就这样的表述便是使得局外之人也是可以清晰的明白这就是斐波拉契数列：“一个每一项都等于前两项之和的数列”。

当进行这样的排列得出的数据看起来除了刚刚所说到的规律之外，是混乱的。可是所有的规律都是通过观察大量的数据才可以找到的。当排列越往后的时候，却意外的发现它和黄金比例所分割的近似值接近，它们之间有着不可分开的关系。世界就是那么的奇妙，看起来不相干的事物之间往往有着千丝万缕的联系。

4. 斐波那契数列与黄金分割有什么关系？

那斐波那契数列与黄金分割是什么关系，经过多方研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随着序号的增加逐渐趋于黄金分割比。即f(n)/f(n+1)-→0.618…。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除的商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但如果继续我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现后面相邻两个数的比会非常接近黄金分割比。
而且我们还有一个例子更能说明这个问题。那就是我们大家都熟知的五角星/正五边形。五角星非常漂亮，我国的国旗有五颗，还有不少的国家的国旗也用五角星，为什么呢？那是因为，五角星的几条线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的，而且正五边形对角线连满后所出现的三角形，也都是符合黄金分割三角形。黄金分割三角形还有一个特殊性。我们知道，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形却是可以用5个与其本身全等的三角开生成与其本身相似的三角形。由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18。所以利用线段上的两个黄金分割点就很容易做出五角形和正五边形。

5. 怎样推算出斐波那契数列后项与前项的比值的极限是黄金比例?

严谨的通项法：
构建等比数列就能轻易求出通项an=s(p^n-q^n)，s=(根号5)/5，p=(1+根号5)/2，q=(1-根号5)/2，则a(n+1)/an =p*[1-(q/p)^(n+1)]/[1-(q/p)^n]=p*[1-t^(n+1)]/[1-t^n]<p*1=p
推理法：
a(n+2)=a(n+1)+an,an>0.
a(n+2) / a(n+1) = 1 + an / a(n+1) ，
设a(n+1) / an =Xn >0,
则X(n+1) =1 + 1 / Xn
假设Xn无穷大，则X(n+1)也无穷大，与X(n+1)=1+1/Xn趋向于1矛盾。
假设Xn无限接近0，则X(n+1)也无限接近0，与X(n+1)=1+1/Xn趋向于无穷大矛盾。
所以，Xn必然有极限值。
设Xn的极限为x，则有
x=1+1/x，即x^2-x-1=0,解得x=p>0

6. 如何证明斐波那契数列前一项与后一项的比值趋近黄金比?

这个问题涉及到极限的计算.
斐氏数列的通项为：
Fn=1/√5*([(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n)=[(1+√5)/2]^n/√5*[1-[(1-√5)/(+√5)]^n]=)=[(1+√5)/2]^n/√5*[1-(-4/(1+√5))^2)^n]
注意到(1+√5)^2=6+2√5>4,当n→∞时，（-4/(1+√5)^2)^n→0
即Fn→[(1+√5)/2]^n/√5 (n→∞时）
Fn/Fn+1
→([(1+√5)/2]^n/√5)/([(1+√5)/2]^(n+1)/√5)=2/(1+√5)
  =(√5-1)/2≈0.618 为黄金比

7. 如何证明斐波那契数列前一项与后一项的比值趋近黄金比?

这个问题涉及到极限的计算.
  斐氏数列的通项为：
  Fn=1/√5*([(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n)=[(1+√5)/2]^n/√5*[1-[(1-√5)/(+√5)]^n]=)=[(1+√5)/2]^n/√5*[1-(-4/(1+√5))^2)^n]
  注意到(1+√5)^2=6+2√5>4,当n→∞时,（-4/(1+√5)^2)^n→0
  即Fn→[(1+√5)/2]^n/√5 (n→∞时）
  Fn/Fn+1
  →([(1+√5)/2]^n/√5)/([(1+√5)/2]^(n+1)/√5)=2/(1+√5)
  =(√5-1)/2≈0.618 为黄金比

8. 黄金分割与“斐波那契数列”有什么联系

1753年，格拉斯哥大学的数学家西摩松（R．Simson）发现，随着数字的增大，斐波那契数列两数间的比值越来越接近黄金分割率，即随着n的无限增大，Fn+1Fn越来越接近于5√+12；反之，FnFn+1以5√−12为极限。这提示我们，斐波那契数列是一个与黄金分割数关系异常密切的数列。
其实，斐波那契数列的通项公式为：

Fn=15√[(5√+12)n−(−5√+12)n]

原来它竟然是用黄金分割数表达的！18世纪中叶，著名数学家棣莫佛（A．de Moivre）和欧拉已经知道这个公式。
如果从中切掉一个正方形（边长等于原矩形的宽），剩下的部分仍是黄金矩形。依此继续切割，就会得到越来越小的黄金矩形。黄金矩形被这样切割后，矩形的一部分顶点恰好落在一条螺线上。斐波那契数列与此相似，你可以用边长1的正方形做反向操作。加上一个同样的正方形，得到一个新的矩形。若不断在长边上添加正方形，新产生的长边就会遵循斐波那契数列，每一个比前一个的形状更为接近黄金矩形。