1. 指数函数单调性证明
是一定要按照定义来做呢?还是可以化为已知单调性的函数来做?
先求定义域:
分母不能为0,所以3^x-1≠0,3^x≠1,x≠0
所以f(x)的定义域分为两个分开的区间(-∞,0)和(0,+∞),在这两个区间里面分别讨论。
f(x)=(3^x+1)/(3^x-1)
=1+(2/(3^x-1))
当x∈(-∞,0)时
3^x-1<0,且单调递增
所以2/(3^x-1)<0,且单调递减。
所以f(x)=1+(2/(3^x-1))<1,且单调递减。
当x∈(0,+∞)时
3^x-1>0,且单调递增。
所以2/(3^x-1)>0,且单调递减。
所以f(x)=1+(2/(3^x-1))>1,且单调递减。
所以f(x)在两个开区间(-∞,0)和(0,+∞)内各自都是单调递减函数。
注意:f(x)只是在两个开区间(-∞,0)和(0,+∞)内各自都是单调递减函数。,但是在整个定义域内,不是单调递减函数,因为如果取x1<0,x2>0,很明显,x1<x2
那么f(x1)<1<f(x2)
所以在整个定义域内,不是单调递减函数,这也就是你在整个定义域范围内,用定义法无法证明其单调性的原因。此外3^x表示3的x次方,电脑没法把x打到上标去。
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2. 用定义法证明指数函数的单调性
假设y=a^x中a>1,对于任意的m,n属于R,m<n
f(n)-f(m)=a^n-a^m=a^m[a^(n-m)-1]
因为a>1,n>m,即n-m>0,所以a^(n-m)>1
即a^(n-m)-1>0
又因为a^m>0
所以f(n)-f(m)>0
即得到y=a^x当a>1时在R上为增函数,同理可以证明a<1的情况
3. 如何求指数函数的单调性?
令x1<x2
y1=5^x1>0
y2=5^x2>0
y1/y2
=5^x1/5^x2
=5^(x1-x2)
因为x1<x2 所以 x1-x2<0 5^(x1-x2)<1
所以 y1<y2
根据增函数定义可知
y=5 上标x次方,在定义域内为增函数
指数函数用定义证明单调性,一般做商,之后再与1比较大小
![如何求指数函数的单调性?](https://tse-mm.bing.com/th?q=%E5%A6%82%E4%BD%95%E6%B1%82%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%EF%BC%9F)
4. 指数函数单调性的严格证明
对a^x,a
>
0,讨论它的单调性就不能不先说明它的确切定义。
指数函数是定义在整个实数区间上的。我们先说在整数上的定义:
a^n
=
a
*
a
*
...
*
a
(n
>
0,下同)(n个a相乘)
a^0
=
1
a^(-n)
=
1
/
a^n
再说有理数集上的定义:
a^(1
/
n)
=
a的n次算术根,
a^(p
/
q)
=
(a^p)的q次算术根,其中p
/
q是既约分数.
这样一来,有理数集上的指数函数就定义好了。并且用初等的方法不难证明在有理数集上a^(p
/
q)的单调性。事实上,对a^(p1
/
q1)和a^(p2
/
q2),可以把分数p1
/
q1和p2
/
q2通分,这样分母相同,设分别是p1'
/
q,
p2'
/
q。现在就是在比以a^(1
/
q)为底,以p1'和p2'为指数的两个数大小。显然当a
>
1时,a^(1
/
q)
>
1,从而可知函数是严格单调增的;反之,a
<
1时,也能证出函数是严格单调减的
5. 指数函数单调性的严格证明
证:设f(x)=a的x次,a>0,x∈R
f‘(x)=a的x次方*lna
①如果a>1,则lna>0,此时f’(x)>0,指数函数单调递增
②如果a<1,则lna<0,此时f‘(x)<0,指数函数点掉递减
证毕
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6. 指数函数单调性证明
注意:(-∞,0)和(0,+∞)不能“∪”起来哦。
7. 指数函数单调性的严格证明
证:设f(x)=a的x次,a>0,x∈R
f‘(x)=a的x次方*lna
①如果a>1,则lna>0,此时f’(x)>0,指数函数单调递增
②如果a<1,则lna<0,此时f‘(x)<0,指数函数点掉递减
证毕
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8. 指数函数的单调性
首先,y=a^x是指数函数,我们一般讨论a>0,且a≠1的情况。
当指数α是负整数时,设α=-k,则,显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点:
一是有可能作为分母而不能是0。
一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:α小于0时,x不等于0;α的分母为偶数时,x不小于0;α的分母为奇数时,x取R。
单调区间:
当α为整数时,α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性。
①当α为正奇数时,图像在定义域为R内单调递增。
②当α为正偶数时,图像在定义域为第二象限内单调递减,在第一象限内单调递增。
③当α为负奇数时,图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减)。
④当α为负偶数时,图像在第二象限上单调递增,在第一象限内单调递减。
当α为分数时(且分子为1),α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性。