在等腰三角形ABC中，已知AB=AC D为BC边上的一点，连结AD,若△ACD和△ABD都是等腰三角形，求∠C的度数

1. 在等腰三角形ABC中，已知AB=AC D为BC边上的一点，连结AD,若△ACD和△ABD都是等腰三角形，求∠C的度数

DSR无敌 ：你好！

∠C=45°或36°。解析如下：
分类讨论：
（1）当∠BAC＜90°时，找不到满足题意的D点，使得△ACD和△ABD都是等腰三角形。

（2）当∠BAC=90°时，即△ABC为等腰直角三角形时，
若D 为BC 的中点，则AD=BD=CD，
△ACD和△ABD都是等腰三角形，满足题意。
此时∠C=45°。

（3）当∠BAC>90°时，可令AB=DB，AD=CD，
此时∠B=∠C=∠CAD，∠BAD=∠BDA
又∠BDA=∠C＋∠CAD＝2∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴∠B＋∠BAD＋∠BDA＝5∠C＝180°
解得∠C=36°。此种情况，还可令BD＝AD，AC＝CD，此时∠C仍为36°。

综上，∠C=45°或36°。

希望能够帮到你！也祝学习进步！

2. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A=20°，在AB上取一点D，使AD=BC，求∠BDC的度数

过点B作射线BE使得角EBC=20度 且 BE=BA.
因为角A=20度，AB=AC,
所以角ABC=角ACB=80度，
角ABE=角ABC-角CBE=60度，利用BA=BE 可知三角形BAE是等边三角形。从而AE=AB=AC=BE，且角CAE=角BAE-角BAC=60-20=40度。由于AC=AE,角CAE=40度，所以角ACE=角AEC=70度，进而角BEC=角AEC-角AEB=10度。
另一方面，因为BC=AD,BE=AC,角CBE=角DAC=20度，所以三角形BCE全等于三角形ADC，所以角ACD=角BEC=10度。因此角BDC=角DAC+角ACD=20+10=30度。
综上，角BDC=30度。

3. 在等腰三角形ABC中，AB=AC,D是AC上一点，且AD=BD=BC,求三角形ABC各角的度数。

∠A=36°,∠B=∠C=72°。
依题意可知：∠A=∠DBA ,∠C=∠B=∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A,则∠A+∠B+∠C=5∠A=180°,则∠A=36°,∠B=∠C=(180°-36°)/2=72°

4. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，顶角A=20，在边AB上取点D，使AD=BC,求角BDC的度数

以AB为边向△ABC外正三角形ABE,连结DE.
在△EAD和△ABC中:
AD=BC,AB=EA, ∠EAD=20°+60°=∠ABC
∴△EDA≌△ABC(SAS),得到：ED=EA=EC
∴△EDC为等腰三角形
∵∠AED=∠BAC=20°
∴∠CED=∠AEC-∠AED=60° -20°=40°
∴∠DCE=70°
∠DCA=∠DCE-∠ACE=70°-60°=10°
∴∠BDC=∠DAC+∠DCA=20 °+10 °=30 °

5. 在等腰三角形ABC中,P, Q分别是AB AC边上的一点,并且AQ=QP=PB=BC,求角PCQ的度数.

作∠PQC的角平分线QH
且使QH＝QP，连HB,HC
∵AQ=QP
∴∠A＝∠QPC
∵QH为∠PQC的角平分线
∴∠PQH＝CQH＝½∠PQC
∵∠PQC＝∠A＋∠QPC＝2∠A
∴∠A＝∠PQH＝∠CQH
∴AP∥QH
∵AB＝AC,AQ＝PB
∴AB－PB＝AC－AQ
即AP＝QC
在△AQP与△QHC中
AQ＝QH
∠CQH＝∠A
AP＝QC
∴△AQP≌△QHC(SAS)
∴CH＝PQ＝PB＝BC＝AQ＝QH
∵QH∥PB,QH＝PB
∴四边形BPQH为平行四边形
∵PQ＝QH
∴四边形BPQH为菱形
∴∠PQH＝∠PBH
    △BHC为等边△
∴∠PBH＝∠QCH＝∠PQH＝∠A
    ∠HBC＝∠HCB＝60°
∵在△ABC中，
∠A＋∠PBH＋∠HBC＋∠HCB＋∠QCH＝180°
∴∠A＋∠PBH＋∠QCH＝60°
∴∠A＝∠PBH＝∠QCH＝20°
∵在△ABC中，
∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°
∴∠ABC＝∠ACB＝80°
∵在△BPC中，
∠ABC＋∠BPC＋∠BCP＝180°
∴∠BCP＝∠BPC＝50°
∴∠PCQ＝∠ACB－∠BCP＝80°－50°＝30°

6. 如图,已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD交BC与E,且AD=AB,∠CAD=30°，求∠DBC的度数

15度 
设∠ABC=∠ACB=a
∠DBC=b
∠BCD=c
则∠BDA=∠ABD=a+b=75度
∠ADC=∠ACD=a+C
所以b+c+a+b+a+c=180
因为a+b=75
所以2c=30
所以c=15度

7. 如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC，求∠A的度数。

角ACB=180-110=70度
因为AB=AC
所以角B=角ABC=70度
所以角A=180-70-70=40度

8. 在等腰三角形ABC中,AB=AC,角A=20度,在AB上取点D,使AD=BC,求角BDC的度数

以AC为边，，在AB异侧作等边三角形ACE
∴角DAE=80°=角B
   AB = AE
在△ABC和△EAD中
BC = AD
角ABC = 角EAD
AB = EA
∴△ABC≌△EAD
∴角AED = 角BAC = 20°
   角ADE = 80°
   ED = EA = EC
∴角EDC = 角ECD = 70°
∴角BDC = 180°-角ADE - 角CDE = 30°