(n/(n+1))^n,当n趋于无穷大时的极限. 请给出理由或过程

1. (n/(n+1))^n,当n趋于无穷大时的极限. 请给出理由或过程

 用特殊极限计算如下,点击放大：  
  

2. 求（n!)^(1/n)/n，n趋于无穷时的极限

正无穷大
先取对数，然后比较分子和分母的大小关系，用不等式关系得到分子ln(n!)远大于n，所以分子比分母大的话，比值差距也越来越大，最终结果会趋向无穷大。

解题过程
y=(n/(n+1))^n
lny=nln=ln/(1/n)
0/0型，用洛比达法则
n/(n+1)=1-1//(n+1)
所以分子求导＝1/*'=(n+1)/n*1/(n+1)^2=1/
分母求导＝－1/n^2
所以是－n/(n+1),极限是－1
即lny极限是－1
所以原来极限＝e^-1=1/e

3. (n/(n+1))^n当n趋向于无穷时的极限

y=(n/(n+1))^n
lny=nln[n/(n+1)]=ln[n/(n+1)]/(1/n)
0/0型，用洛比达法则
n/(n+1)=1-1//(n+1)
所以分子求导=1/[n/(n+1)]*[1-1/(n+1)]'=(n+1)/n*1/(n+1)^2=1/[n(n+1)]
分母求导=-1/n^2
所以是-n/(n+1),极限是-1
即lny极限是-1
所以原来极限=e^-1=1/e

4. 求证：当n趋近于无穷大时，n^(1/n)的极限为1.

n^(1/n) = e^ln(n^(1/n))=e^((1/n)ln n)=e^((ln n)/n)

当n趋近于无穷大时，(ln n)/n是∞/∞型，可以用洛必达法则：

lim(ln n)/n = lim (ln n)'/(n)' =lim (1/n)/1 =lim(1/n)
当n->∞时，1/n->0. 所以 limn^(1/n) = lim[e^((ln n)/n)] = e^0 =1

5. 求（n!)^(1/n)/n，n趋于无穷时的极限

这个问题比较难，可分为三个步骤来完成：
1、设xn=[n!^(1/n)]/n,则
㏑xn=㏑{[n!^(1/n)]/n}
=(1/n)㏑[n!/n^n]
=(1/n)[㏑1/n+㏑2/n+…+㏑n/n]
=(1/n)∑(k=1,n)㏑k/n(可以理解为积分和)
2、转化为定积分：
=∫(0,1)lnxdx
=[xlnx-x](0,1)
3、求无穷积分值：
=-1-lim(x→0)[xlnx-x]
=-1-lim(x→0)lnx/(1/x)
=-1-lim(x→0)(1/x)/(-1/x^2)
=-1-lim(x→0)(-x)
=-1；
所以：lim(n→∞)㏑xn=-1
lim(n→∞)xn=1/e。

6. (n/(n+1))^n当n趋向于无穷时的极限

y=(n/(n+1))^n
lny=nln[n/(n+1)]=ln[n/(n+1)]/(1/n)
0/0型，用洛比达法则

n/(n+1)=1-1//(n+1)
所以分子求导=1/[n/(n+1)]*[1-1/(n+1)]'=(n+1)/n*1/(n+1)^2=1/[n(n+1)]
分母求导=-1/n^2

所以是-n/(n+1),极限是-1
即lny极限是-1
所以原来极限=e^-1=1/e

7. 求证：当n趋近于无穷大时，n^(1/n)的极限为1.

n^(1/n)
=
e^ln(n^(1/n))=e^((1/n)ln
n)=e^((ln
n)/n)
当n趋近于无穷大时，(ln
n)/n是∞/∞型，可以用洛必达法则：
lim(ln
n)/n
=
lim
(ln
n)'/(n)'
=lim
(1/n)/1
=lim(1/n)
当n->∞时，1/n->0.
所以
limn^(1/n)
=
lim[e^((ln
n)/n)]
=
e^0
=1

8. 3∧n 分之n+1在n趋向于无穷大时的极限值

你好！答案如图所示：


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