12题，谢谢!

1. 12题，谢谢!

令f是R到R/I的自然环同态，则kerf=I，根据环同态基本定理，所以R的包含I的理想和R/I的理想一一对应。
1）充分性：因为I是R的最大理想，所以R包含I的理想只有R和I本身，从而商环R/I的理想只有I和R/I本身，换句话说，R/I只有平凡理想。因为R是有单位元的交换环，所以R/I也是有单位元的交换环，根据下面的引理，R/I是域
引理：R是有单位元的交换环，R只有平凡理想，则R是域。
因为设I是非零元a生成的理想,I=(a),则(a)≠0，所以(a)=R,从而Ra=R,特别有ra=1,所以a有逆元r
即R中每个非零元都可逆，故R是域
2）必要性：反过来，域R/I只有平凡理想，根据同态基本定理，真包含I的R的理想只有R本身，这说明I是R的最大理想。
证毕！

2. 12题，谢谢

如图

3. 12题，谢谢

乘以一个（2-1）后用平方差公式
结果为：2^16-1

如有疑问，请追问；如已解决，请采纳

4. 12题，谢谢

两个都是可以用完全平方公式解出来，4可以看成是2的平方，所以（a-2）的平方等于零，所以a＝2
第二条也可以这样解出来，

5. 12题，谢谢

6. 12题，谢谢了。

7. 12题，谢谢

8. 12题 谢谢啦