如图，已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F，求证BF=2CF

1. 如图，已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F，求证BF=2CF

证明：连结AF,
          因为     EF是AC的垂直平分线，
          所以     AF=CF,
          所以     角FAC=角FCA,
          因为     AB=AC, 角BAC=120度，
          所以     角B=角FCA＝30度,
          所以     角FAC=角B＝30度,
          因为     角BAC=120度，角FAC=30度，
         所以      角BAF=90度，
         所以      BF=2AF(直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半），
         因为      AF=CF,
         所以      BF=2CF。

2. 如图，已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，求证BF=2CF

猜想是垂直关系。

因为两个四边形都是正方形，所以GD=DE，CD=AD，GDE和CDA相等，都是90度，两者都加上ADG仍然是相等的。

所以在三角形ADE和三角形CDG中，利用GD=DE，CD=AD，CDG=ADE，即SAS可证明全等。

由于全等，可得出角GCD=DAE，设CG交AD于M，AE交CG于N，在三角形CDM和三角形AMN中，GCD=DAE（全等已得出），CMD=AMN（对顶角相等），因为三角形内角和永远180度，并且有两个角分别相等，所以自然得出，角MDC=MNA

因为正方形，所以MDC=90度，当然MNA=90度，垂直猜想得证。

3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E.求证：FC=2BF.

连结AF，
∵EF为AB的垂直平分线
∴BF=AF
∴∠AFC=2∠B=60°
∴∠FAC=90°
∴FC=2AF=2BF

4. 如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F， 求证：BF=2CF。

连接AF，因为EF是AC的垂直平分线，∴∠FAC=∠C=∠B=30°，AF=CF

∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=90°，30度角所对的直角边等于斜边的一半，∴ BF=2AF=2CF

5. 已知，如图EF交直线AB、CD于点M、N,∠EMB=∠END,MG平分∠EMB，NH平分∠END。图中那两条直线相互平行？为什

首先图中给的点错了，N、G互换了
,∠EMB=∠END    AB//CD（同位角相等）

,MG平分∠EMB，NH平分∠END
∠1=∠2
MG//NH(同位角)

6. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E，试说明：BF=2/1FC

连AF,
因为EF为AB的垂直平分线
所以BF=AF,∠B=∠BAF,
因为AB=AC，∠BAC=120°
所以∠B=∠C=（180-120）/2=30°
所以∠FAC=∠BAC-∠BAF=120-30=90°
所以在直角三角形ACF中，AF=AC/2(直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半)
即BF=AC/2

7. 如图所示，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N，MG，NH分别平分∠AMF，∠DNF。 求证：∠GMN+∠DNH=90°

因为AB平行CD，所以角AMN等于角MND，因为角MND与角FND互补，所以角MND+角FND=180°，又因为角AMN=角MND，所以角AMN+角FND=180°，因为GM、NH为角平分线，所以角AMG=角GMN,角FNH=角DNH,所以∠GMN+∠DNH=1/2x180°=90°。给个赞~~

8. 如图所示,在△ABC中,EF是AB的垂直平分线,MN是BC的垂直平分线,EF与MN相交于点O。求证：点O

证明：
连接OA、OB、OC
∵O在AB的垂直平分线上
∴OA=OB
∵O在BC的垂直平分线上
∴OB=OC
∴OA=OC
∴O在AC的垂直平分线上