聚类分析

1. 聚类分析

　　层次聚类也叫系统聚类，适合于小量数据的分类，由于需要计算两两数据之间的距离，如果数据多的话分类，分类速度慢，分类质量下降，这种方法能够根据聚合系数判断最佳的分类数目；K-均值聚类也叫快速聚类，适合于大量数据的分类，快速聚类作为一种简洁高效的聚类方法很受欢迎，但他最大的缺点是自身不能确定分类的数目，必须人为设置分成多少类，需要个人经验判断；两步聚类法是一种比较新的聚类方法，它弥补了前两种方法的缺陷，既能够很好的对大量数据进行聚类，也能自动判别分类数目，个人认为这种方法最好。
　　如果你想看每种方法的具体原理，可以看看的何晓群的多元统计分析，或吕振通的SPSS 统计分析与应用。

2. 聚类分析的主要应用

 聚类分析被用来发现不同的客户群，并且通过购买模式刻画不同的客户群的特征。聚类分析是细分市场的有效工具，同时也可用于研究消费者行为，寻找新的潜在市场、选择实验的市场，并作为多元分析的预处理。 聚类分析在电子商务中网站建设数据挖掘中也是很重要的一个方面，通过分组聚类出具有相似浏览行为的客户，并分析客户的共同特征，可以更好的帮助电子商务的用户了解自己的客户，向客户提供更合适的服务。

3. 聚类分析

化探工作中常常要研究元素和样品分类问题。聚类分析则提供了一些数量化的衡量元素或样品相似程度的指示，利用这些指标可将元素样品按其相似程度的大小划分为不同的类，从而揭示元素或样品之间的本质联系，这有助于研究元素共生组合关系和对岩体异常等的分类评价。
根据分类对象不同，聚类分析分为R型聚类分析（对元素进行分类），Q型聚类分析（对样品进行分类）。聚类分析一般采用逐次联结法，具体做法如下。
1.转换对数
常将实测数据先转换为对数，因为微量元素多属对数正态分布，而且数据过于离散。
2.数据均匀化
数据均匀化化的目的是将大小悬殊的数据化为同一度量的水平上。均匀化的方法常用的有：
（1）标准化
用于R型聚类分析，计算公式：

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式中：zij为标准化数据；xij为原始数据（对数值）；xi为 i个变量的平均值（对数平均值），  为i个变量的标准离差，σi＝  ；i为变量数（i＝1，2，3，…，m）；j为样品数（j＝1，2，3，…，n）。
（2）正规化
用于Q型聚类分析，计算公式：

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式中：wij为正规化数据；xij为原始数据（对数值）；xi（max）为i个变量的最大值（对数值）；xi（min）为i个变量的最小值（对数值）；i 为变量数（i ＝1，2，3，…，m）；j 为样品数（j＝1，2，3，…，n）。
（3）计算相似性统计量
1）相关系数r
用于R型聚分析，计算公式（任何两元素）：

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数据标准化后：

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-1≤r≤1，|r|愈大，元素愈相似。
2）相似性系数
用于Q型聚类分析，计算公式（任何二样品）：

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-1≤cosθ≤1，|cosθ|愈大，元素愈相似。
3）距离系数
用于Q型聚类分析，计算公式（对于任何两样品）

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对于正规化数据0≤d≤1，d值越小样品越相似。将计算出的相似性统计量排列成矩阵。
（4）根据相似性统计量进行分类
1）选出相似程度最大（即相关系数、相似性系数最大，距离系数最小）的一对元素或样品联结成一类，填入分类表（表6-4），联结后的元素或样品组成一个新变量（新样品）替换序号较小的变量（样品），去掉序号较大的变量（样品）。
2）将联结成一类的元素或样品均匀化数据加权平均，替换序号较小的一行作为新变量（新样品）的数据，去掉序号较大的一行数据，其余各行不变。得到比原来少一个变量或样品的均匀化数据表。

表6-4 分类统计表

加权平均计算公式：
如第一、二两个元素联结后新变量的标准化数据为，则：

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N1和N2分别为权，未组合的数据权为1，组合一次权增加1。
3）根据新变量（新样品）的数据，计算新变量（新样品）与其余变量（样品）间的相似性统计量，其余不变，列出新的矩阵。
4）重复上述1），2），3）各步骤，即挑选相似程度最大的变量（或样品）联结归类；加权平均合并数据；计算新变量（新样品）与其他变量（样品）间的相似性统计量，刷新原矩阵，直至全部联结完毕为止。
5）制作谱系图，见图6-3。

图6-3 谱系图（示意）

3.计算实例
某地一批超基性岩样品，经分析 Ni，Co，Cu，Cr，S，As含量如表6-5。

表6-5 某地超基性样品Ni，Co，Cu，Cr，S，As 含量

（1）用R型聚类分析对元素进行分类
1）将原始数据转换为对数，并计算各元素对数值的平均值和标准离差，其结果见表6-6。
2）将各样品中各元素含量对数值进行标准化。
3）按照数据标准化公式：

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于是可得标准化数据表6-7。

表6-7 标准化数据

4）计算相关系数，列出相关系数矩阵R（0），按照相关系数计算公式：

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于是得相关矩阵R（0）：

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5）将R（0）中相关系数最大的Co，Cu联结成一类，记为Co′填入分类统计表中，并计算Co′的数据。
按照加权平均计算公式：

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于是得表6-8。

表6-8 由R（0）得到的Co′值

6）计算新变量Co′与剩余的变量的相关系数，列出新相关矩阵R（1）。
相关系数计算公式同前（以下同），于是得：

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7）将R（1）中相关系数最大的Ni，Co′联结成一类，记为Ni′填入分类统计表中，并计算Ni′的数据。
Ni′的数据仍按前加权平均的公式计算（以下同），于是得表6-9。

表6-9 由Co′重新计算的Ni′值

8）计算新变量Ni′与剩余的变量的相关系数，列出新相关矩阵R（2）。
于是得：

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9）将R（2）中相关系数最大的S，As联结成一类，记为填入分类统计表中，并计算S′的数据（表6-10）。

表6-10 S′计算结果

10）计算新变量S′与剩余变量的相关系数，列出刷新的相关矩阵R（3）：

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11）将R（3）中相关系数最大的 Ni′与 S′联结成一类，记为 Ni″，填入分类统计表中（表6-11）。

表6-11 Ni″计算结果

12）计算新变量Ni″与剩余变量的相关系数，列出刷新的相关矩R（4）。
13）最后将Ni″与Cr联结起来，记入分类统计表6-12。

表6-12 分类统计表

14）制作谱系图（图6-4）。

图6-4 谱系图

从上述谱系图可见，在相关系数0.2～0.5的相似水平上，可将述六个元素分为两类：一类是 Cr（亲氧元素）；另一类是 Co，Cu，Ni，As（亲硫元素）。在相关系数0.6 左右可将亲硫元素分为两组，一组是S，As（阴离子）；一组是Co，Cu，Ni（阳离子），且Co，Cu相关关系更密切。这样R型聚类分析清楚地显示出这些元素在超基性岩石的相互关系。
（2）用Q型聚类分析对样品进行分类
仍以上述超基岩样品分析结果为例。
对样品分类常用距离系数。由于距离系数是对直角坐标系而言，即要求变量要互不相关。故可先用R型聚类分析（式R型因子分析）选出互相独立的变量（在用R型聚类分析时，通常取相关系数绝对值小的变量），然后以距离系数对样品进行分类。
上例R型聚类分析结果，在R＝0.6 水平左右可将变量分为三组，即Ni′（Ni，Co，Cu）；S′（S，As）；Cr，现以这三组为变量对样品进行分类。
1）将变量数据（对数值）进行合并，得出新的数据表。合并的办法是取该组变量的平均值，于是得表6-13。

表6-13 对变量数据合并后的新的数据

2）将数据正规化。按正规化的公式：

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于是得表6-14。

表6-14 正规化后的数据表

3）计算距离系数djk，列出初始距离系数矩阵D（0）。
按距离系数公式：

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于是得：

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4）将D（0）中距离系数值最小的（5），（6）样品联结成一类，记为（5′）填入分类统计表中，并计算（5′）的数据。
按照加权平均计算公式：

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于是得表6-15。

表6-15 （5′）的数据表

5）计算（5′）与样品的距离系数，列出刷新距离系数矩阵D（1），于是得：

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6）将D（1）中距离系数最大的（2），（5′）联结成一类，记为（2′），填入分类统计表中，并计算（2′）的数据。于是得表6-16。

表6-16 （2′）的数据表

7）计算（2′）与剩余样品的距离系数，列出刷新的距离系数矩阵D（2），于是得：

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8）将D（2）中距离系数最小的（1），（4）联结成一类，记为（1′），填入分类统计表中，并计算（1′）的数据。于是得表6-17。

表6-17 （1′）的数据表

9）计算（1′）与剩余样品的距离系数，列出刷新的距离系数矩阵D（3），于是得：

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10）将D（3）中距离系数最小的（1′），（2′），联结成一类，记为（1″），填入分类统计表中，并计算（1″）的数据。于是得表6-18。

表6-18 （1″）的数据表

11）计算（1″）与剩余样品的距离系数，列出新的距离系数矩阵D（4），于是得：

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12）最后将（1″），（3）联结成一类，填入分类统计表6-19。

表6-19 分类统计表

13）制作谱系图（图6-5）。

图6-5 谱系图

从谱系图上可得：在距离系数0.35～0.5水平上，可将数个样品分成三类；一类是矿化的蛇纹岩（1）及（4）；另一类是无矿化的蛇纹岩（2）及滑镁岩（5），（6）；样品（3）为单独一类，它是无矿化的蛇纹岩。因此，通过Q型聚类分析很好地将该地含矿岩体和不含矿岩体区分开来。至于样品（3）单独开，还可进一步研究它与其他无矿岩体的差异。
这里需要特别指出的是，运用回归分析、判别分析、聚类分析都是在特定的地质条件下得出的统计规律，因此，在利用这些规律对未知进行判断时，一定要注意地质条件的相似性，切不可把某一地质条件下导出的规律，生搬硬套地用于解决不同地质条件下的问题。

4. 聚类分析

在没有先验知识的情况下，对样本按各自的特性来进行合理的分类
   聚类分析：不需要先知道所属类别就可以实现按各自特性的分类
  
 聚类分析有两种主要计算方法，分别是凝聚层次聚类（Agglomerative hierarchical method）和K均值聚类（K-Means）
   （1）层次聚类首先要定义样本之间的距离关系，距离较近的归为一类，较远的则属于不同的类。
   （2）K均值聚类不需要计算距离，但要求事先给出分类个数
  
 ris数据集包含5个方面的信息，为了探索聚类分析，所以采用前4个变量作为模型前期数据，使用species作为聚类模型结果的验证。
                                          
 （1）首先提取iris数据中的4个数值变量，然后计算其欧氏距离矩阵。
   （2）然后将矩阵绘制热图，从图中可以看到颜色越深表示样本间距离越近·
   从图中可以看到颜色越深表示样本间距离越近。大致上可以区分出三到四个区块，其样本之间比较接近。
                                          
 使用hclust完成数据集的层次聚类，plot函数可以查看聚类结果
   使用cutree函数提取每个样本所属的类别
  
 到此就完成了150个数据的类别划分
                                          
 可视化展现层次聚类结果
   setose品种聚类很成功，但有一些virginica品种的花被错误和virginica品种聚类到一起
                                          
 使用kmeans函数进行K均值聚类
  
 centers参数用来设置分类个数，
   nstart参数用来设置取随机初始中心的次数，其默认值为1，但取较多的次数可以改善聚类效果
   K均值聚类后，数据集的结果为：
                                          
 如果聚类正确的话，圆形点对应红色；三角形对应蓝色；方框对应绿色
   K均值聚类setose品种聚类比较好，但有一些virginica品种的花被错误和virginica品种聚类到一起

5. 聚类分析

判别分析与聚类分析有一个共同点，就是对样本进行分类，但两者也有所不同，判别分析是在已知有多少类，并且在有训练样本的前题下，利用训练样本得到判别函数，对待测样本进行分类。而聚类分析是预先不知道有多少类的情况下，根据某种规则将样本（或指标）进行分类。
  
 聚类分析这一类方法的共同特点是：事先不知道类别的个数与结构；据以进行分析的数据是对象之间的相似性或相异性的数据。将这些相似（相异）性数据看成是对象之间的“距离”远近的一种度量，将距离近的对象归入一类，不同类之间的对象距离较远。
  
 聚类分析根据分类对象不同分为Q型聚类分析和R型聚类分析。Q型聚类分析是指对样本进行聚类，R型聚类分析是指对变量进行聚类分析。
  
 聚类分析是研究对样本或变量的聚类，在进行聚类分析时，可使用的方法有很多，而这些方法的选择往往与变量的类型是有关系的，由于数据的来源及测量方法的不同，变量大致可以分为两类。
  
 （1）定量变量。也就是通常所说的连续量，如长度、重量、产量、人口、速度和温度等，它们是由测量或计数、统计所得到的量，这些变量具有数值特征，称为定量变量。
  
 （2）定性变量，这些量并非真有数量上的变化，而只有性质上的差异。这些量还可以分为两种，一种是有序变量，它没有数量关系，只有次序关系，如某种产品分为一等品、二等品、三等品等，矿石的质量分为贫矿和富矿，另一种是名义变量，这种变量即无等级关系，也无数量关系，如天气（阴、晴），性别（男、女）、职业（工人、农民、教师、干部）和产品的型号等。
  
 
  
 https://www.cnblogs.com/think90/p/7133753.html

6. 关于聚类分析

1。聚类分析的特点
　聚类分析（cluster analysis）是根据事物本身的特性研究个体的一种方法，目的在于将相似的事物归类。它的原则是同一类中的个体有较大的相似性，不同类的个体差异性很大。这种方法有三个特征：适用于没有先验知识的分类。如果没有这些事先的经验或一些国际、国内、行业标准，分类便会显得随意和主观。这时只要设定比较完善的分类变量，就可以通过聚类分析法得到较为科学合理的类别；可以处理多个变量决定的分类。例如，要根据消费者购买量的大小进行分类比较容易，但如果在进行数据挖掘时，要求根据消费者的购买量、家庭收入、家庭支出、年龄等多个指标进行分类通常比较复杂，而聚类分析法可以解决这类问题；聚类分析法是一种探索性分析方法，能够分析事物的内在特点和规律，并根据相似性原则对事物进行分组，是数据挖掘中常用的一种技术。 
　　这种较成熟的统计学方法如果在市场分析中得到恰当的应用，必将改善市场营销的效果，为企业决策提供有益的参考。其应用的步骤为：将市场分析中的问题转化为聚类分析可以解决的问题，利用相关软件（如SPSS、SAS等）求得结果，由专家解读结果，并转换为实际操作措施，从而提高企业利润，降低企业成本。 
2.应用范围
　聚类分析在客户细分中的应用 
　　 
　　消费同一种类的商品或服务时，不同的客户有不同的消费特点，通过研究这些特点，企业可以制定出不同的营销组合，从而获取最大的消费者剩余，这就是客户细分的主要目的。常用的客户分类方法主要有三类：经验描述法，由决策者根据经验对客户进行类别划分；传统统计法，根据客户属性特征的简单统计来划分客户类别；非传统统计方法，即基于人工智能技术的非数值方法。聚类分析法兼有后两类方法的特点，能够有效完成客户细分的过程。 
　　例如，客户的购买动机一般由需要、认知、学习等内因和文化、社会、家庭、小群体、参考群体等外因共同决定。要按购买动机的不同来划分客户时，可以把前述因素作为分析变量，并将所有目标客户每一个分析变量的指标值量化出来，再运用聚类分析法进行分类。在指标值量化时如果遇到一些定性的指标值，可以用一些定性数据定量化的方法加以转化，如模糊评价法等。除此之外，可以将客户满意度水平和重复购买机会大小作为属性进行分类；还可以在区分客户之间差异性的问题上纳入一套新的分类法，将客户的差异性变量划分为五类：产品利益、客户之间的相互作用力、选择障碍、议价能力和收益率，依据这些分析变量聚类得到的归类，可以为企业制定营销决策提供有益参考。 
　　以上分析的共同点在于都是依据多个变量进行分类，这正好符合聚类分析法解决问题的特点；不同点在于从不同的角度寻求分析变量，为某一方面的决策提供参考，这正是聚类分析法在客户细分问题中运用范围广的体现。 
　　 
　　聚类分析在实验市场选择中的应用 
　　 
　　实验调查法是市场调查中一种有效的一手资料收集方法，主要用于市场销售实验，即所谓的市场测试。通过小规模的实验性改变，以观察客户对产品或服务的反应，从而分析该改变是否值得在大范围内推广。 
　　实验调查法最常用的领域有：市场饱和度测试。市场饱和度反映市场的潜在购买力，是市场营销战略和策略决策的重要参考指标。企业通常通过将消费者购买产品或服务的各种决定因素（如价格等）降到最低限度的方法来测试市场饱和度。或者在出现滞销时，企业投放类似的新产品或服务到特定的市场，以测试市场是否真正达到饱和，是否具有潜在的购买力。前述两种措施由于利益和风险的原因，不可能在企业覆盖的所有市场中实施，只能选择合适的实验市场和对照市场加以测试，得到近似的市场饱和度；产品的价格实验。这种实验往往将新定价的产品投放市场，对顾客的态度和反应进行测试，了解顾客对这种价格的是否接受或接受程度；新产品上市实验。波士顿矩阵研究的企业产品生命周期图表明，企业为了生存和发展往往要不断开发新产品，并使之向明星产品和金牛产品顺利过渡。然而新产品投放市场后的失败率却很高，大致为66%到90%。因而为了降低新产品的失败率，在产品大规模上市前，运用实验调查法对新产品的各方面（外观设计、性能、广告和推广营销组合等）进行实验是非常有必要的。 
　　在实验调查方法中，最常用的是前后单组对比实验、对照组对比实验和前后对照组对比实验。这些方法要求科学的选择实验和非实验单位，即随机选择出的实验单位和非实验单位之间必须具备一定的可比性，两类单位的主客观条件应基本相同。 
　　通过聚类分析，可将待选的实验市场（商场、居民区、城市等）分成同质的几类小组，在同一组内选择实验单位和非实验单位，这样便保证了这两个单位之间具有了一定的可比性。聚类时，商店的规模、类型、设备状况、所处的地段、管理水平等就是聚类的分析变量。 转

7. 聚类分析法

聚类分析，亦称群分析或点分析，是研究多要素事物分类问题的数量方法。其基本原理是，根据样本自身的属性，用数学方法按照某些相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按亲疏关系的程度对样本进行聚类（徐建华，1994）。
聚类分析方法，应用在地下水中，是在各种指标和质量级别标准约束条件下，通过样品的各项指标监测值综合聚类，以判别地下水质量的级别。常见的聚类分析方法有系统聚类法、模糊聚类法和灰色聚类法等。
（一）系统聚类法
系统聚类法的主要步骤有：数据标准化、相似性统计量计算和聚类。
1.数据标准化
在聚类分析中，聚类要素的选择是十分重要的，它直接影响分类结果的准确性和可靠性。在地下水质量研究中，被聚类的对象常常是多个要素构成的。不同要素的数据差异可能很大，这会对分类结果产生影响。因此当分类要素的对象确定之后，在进行聚类分析之前，首先对聚类要素进行数据标准化处理。
假设把所考虑的水质分析点（G）作为聚类对象（有m个），用i表示（i=1，2，…，m）；把影响水质的主要因素作为聚类指标（有n个），用j表示（j=1，2，…，n），它们所对应的要素数据可用表4-3给出。在聚类分析中，聚类要素的数据标准化的方法较多，一般采用标准差法和极差法。

表4-3 聚类对象与要素数据

对于第j个变量进行标准化，就是将xij变换为x′ij。
（1）总和标准化

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这种标准化方法所得的新数据x′ij满足

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（2）标准差标准化

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式中：  ； 
由这种标准化方法所得的新数据x′ij，各要素的平均值为0，标准差为1，即有

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（3）极差标准化

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经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大值为1，极小值为0，其余的数值均在［0，1］闭区间内。
上述式中：xij为j变量实测值；xj为j变量的样本平均值；sj为样本标准差。
2.相似性统计量
系统聚类法要求给出一个能反映样品间相似程度的一个数字指标，需要找到能量度相似关系的统计量，这是系统聚类法的关键。
相似性统计量一般使用距离系数和相似系数进行计算。距离系数是把样品看成多维空间的点，用点间的距离来表示研究对象的紧密关系，距离越小，表明关系越密切。相似系数值表明样本和变量间的相似程度。
（1）距离系数
常采用欧几里得绝对距离，其中i样品与j样品距离dij为

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dij越小，表示i，j样品越相似。
（2）相似系数
常见的相似系数有夹角余弦和相关系数，计算公式为
1）夹角余弦

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在式（4-20）中：-1≤cosθij≤1。
2）相关系数

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式中：dij为i样品与j样品的欧几里得距离；cosθij为i样品与j样品的相似系数；rij为i样品与j样品的相关系数；xik为i样品第k个因子的实测值或标准化值；xjk为j样品第k个因子的实测值或标准化值；  为i样品第k个因子的均值，  ；  为j样品第k个因子的均值，  ；n为样品的数目；k为因子（变量）数。
3.聚类
在选定相似性统计量之后，根据计算结果构成距离或相似性系数矩阵（n×n），然后通过一定的方法把n个样品组合成不同等级的分类单位，对类进行并类，即将最相似的样品归为一组，然后，把次相似的样品归为分类级别较高的组。聚类主要有直接聚类法、距离聚类法（最短距离聚类法、最远距离聚类法）。
（1）直接聚类法
直接聚类法，是根据距离或相似系数矩阵的结构一次并类得到结果，是一种简便的聚类方法。它首先把各个分类对象单独视为一类，然后根据距离最小或相似系数最大的原则，依次选出一对分类对象，并成新类。如果一对分类对象正好属于已归的两类，则把这两类并为一类。每一次归并，都划去该对象所在的列与列序相同的行。经过n-1次把全部分类对象归为一类，最后根据归并的先后顺序作出聚类分析谱系图。
（2）距离聚类法
距离聚类法包括最短距离聚类法和最远距离聚类法。最短距离聚类法具有空间压缩性，而最远距离聚类法具有空间扩张性。这两种聚类方法关于类之间的距离计算可以用一个统一的公式表示：

区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究

当γ=-0.5时，式（4-22）计算类之间的距离最短；当γ=0.5时，式（4-22）计算类之间的距离最远。
最短、最远距离法，是在原来的n×n距离矩阵的非对角元素中找出dpq=min（dij）或dpq=max（dij），把分类对象Gp和Gq归并为一新类Gr，然后按计算公式：
dpq=min（dpk，dqk）（k≠ p，q） （4-23）
dpq=max（dpk，dqk）（k≠ p，q） （4-24）
计算原来各类与新类之间的距离，这样就得到一个新的（n-1）阶的距离矩阵；再从新的距离矩阵中选出最小或最大的dij，把Gi和Gj归并成新类；再计算各类与新类的距离，直至各分类对象被归为一类为止。最后综合整个聚类过程，作出最短距离或最远距离聚类谱系图（图4-1）。

图4-1 地下水质量评价的聚类谱系图

（二）模糊聚类法
模糊聚类法是普通聚类方法的一种拓展，它是在聚类方法中引入模糊概念形成的。该方法评价地下水质量的主要步骤，包括数据标准化、标定和聚类3个方面（付雁鹏等，1987）。
1.数据标准化
在进行聚类过程中，由于所研究的各个变量绝对值不一样，所以直接使用原始数据进行计算就会突出绝对值大的变量，而降低绝对值小的变量作用，特别是在进行模糊聚类分析中，模糊运算要求必须将数据压缩在［0，1］之间。因此，模糊聚类计算的首要工作是解决数据标准化问题。数据标准化的方法见系统聚类分析法。
2.标定与聚类
所谓标定就是计算出被分类对象间的相似系数rij，从而确定论域集U上的模糊相似关系Rij。相似系数的求取，与系统聚类分析法相同。
聚类就是在已建立的模糊关系矩阵Rij上，给出不同的置信水平λ（λ∈［0，1］）进行截取，进而得到不同的分类。
聚类方法较多，主要有基于模糊等价关系基础上的聚类与基于最大树的聚类。
（1）模糊等价关系方法
所谓模糊等价关系，是指具有自反性（rii=1）、对称性（rij=rji）与传递性（R·R⊆R）的模糊关系。
基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法的基本思想是：由于模糊等价关系R是论域集U与自己的直积U×U上的一个模糊子集，因此可以对R进行分解，当用λ-水平对R作截集时，截得的U×U的普通子集Rλ就是U上的一个普通等价关系，也就是得到了关于U中被分类对象元素的一种。当λ由1下降到0时，所得的分类由细变粗，逐渐归并，从而形成一个动态聚类谱系图（徐建华，1994）。此类分析方法的具体步骤如下。
第一步：模糊相似关系的建立，即计算各分类对象之间相似性统计量。
第二步：将模糊相似关系R改造为模糊等价关系R′。模糊等价关系要求满足自反性、对称性与传递性。一般而言，模糊相似关系满足自反性和对称性，但不满足传递性。因此，需要采用传递闭合的性质将模糊相似关系改造为模糊等价关系。改造的方法是将相似关系R自乘，即
R2=R·R
R4=R2·R2
︙
这样计算下去，直到：R2k=Rk·Rk=Rk，则R′=Rk便是一个模糊等价关系。
第三步：在不同的截集水平下进行聚类。
（2）最大树聚类方法
基于最大树的模糊聚类分析方法的基本思路是：最大树是一个不包含回路的连通图（图4-2）；选取λ水平对树枝进行截取，砍去权重低于λ 的枝，形成几个孤立的子树，每一棵子树就是一个类的集合。此类分析方法的具体步骤如下。

图4-2 最大聚类支撑树图

第一步：计算分类对象之间的模糊相似性统计量rij，构建最大树。
以所有被分类的对象为顶点，当两点间rij不等于0时，两点间可以用树干连接，这种连接是按rij从大到小的顺序依次进行的，从而构成最大树。
第二步：由最大树进行聚类分析。
选择某一λ值作截集，将树中小于λ值的树干砍断，使相连的结点构成一类，即子树，当λ由1到0时，所得到的分类由细变粗，各结点所代表的分类对象逐渐归并，从而形成一个动态聚类谱系图。
在聚类方法中，模糊聚类法比普通聚类法有较大的突破，简化了运算过程，使聚类法更易于掌握。
（三）灰色聚类法
灰色聚类是根据不同聚类指标所拥有的白化数，按几个灰类将聚类对象进行归纳，以判断该聚类对象属于哪一类。
灰色聚类应用于地下水水质评价中，是把所考虑的水质分析点作为聚类对象，用i表示（i=1，2，…，n）；把影响水质的主要因素作为聚类指标，用j表示（j=1，2，…，m），把水质级别作为聚类灰数（灰类），用k表示（k=1，2，3）即一级、二级、三级3个灰类（罗定贵等，1995）。
灰色聚类的主要步骤：确定聚类白化数、确定各灰色白化函数fjk、求标定聚类权重ηjk、求聚类系数和按最大原则确定聚类对象分类。
1.确定聚类白化数
当各灰类白化数在数量上相差悬殊时，为保证各指标间的可比性与等效性，必须进行白化数的无量纲化处理。即给出第i个聚类对象中第j个聚类指标所拥有的白化数，i=1，2，…，n；j=1，2，…，m。
2.确定各灰色白化函数
建立满足各指标、级别区间为最大白化函数值（等于1），偏离此区间愈远，白化函数愈小（趋于0）的功效函数fij（x）。根据监测值Cki，可在图上（图4-3）解析出相应的白化函数值fjk（Cik），j=1，2，…，m；k=1，2，3。
3.求标定聚类权重
根据式（4-25），计算得出聚类权重ηjk的矩阵（n×m）。

区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究

式中：ηjk为第j个指标对第k个灰类的权重；λjk为白化函数的阈值（根据标准浓度而定）。

图4-3 白化函数图

注：图4-3白化函数f（x）∈［0，1］，具有下述特点：①平顶部分，表示该量的最佳程度。这部分的值为最佳值，即系数（权）为1，f（x）=max=1（峰值），x∈［x2，x3］。②白化函数是单调变化的，左边部分f（x）=L（x），单调增，x∈（x1，x2］，称为白化的左支函数；右边部分f（x）=R（x），单调减，x∈［x3，x4），称为白化的右支函数。③白化函数左右支函数对称。④白化函数，为了简便，一般是直线。⑤白化函数的起点和终点，一般来说是人为凭经验确定。
4.求聚类系数
σik=∑fjk（dij）ηjk （4-26）
式中：σik为第i个聚类对象属于第k个灰类的系数，i=1，2，…，n；k=1，2，3。
5.按最大原则确定聚类对象分类
由σik构造聚类向量矩阵，行向量最大者，确定k样品属于j级对应的级别。
用灰色聚类方法进行地下水水质评价，能最大限度地避免因人为因素而造成的“失真、失效”现象。
聚类方法计算相对复杂，但是计算结果与地下水质量标准级别对应性明显，能够较全面反映地下水质量状况，也是较高层次定量研究地下水质量的重要方法。

8. 聚类的典型应用

“聚类的典型应用是什么？”在商务上，聚类能帮助市场分析人员从客户基本库中发现不同的客户群，并且用购买模式来刻画不同的客户群的特征。在生物学上，聚类能用于推导植物和动物的分类，对基因进行分类，获得对种群中固有结构的认识。聚类在地球观测数据库中相似地区的确定，汽车保险单持有者的分组，及根据房子的类型、价值和地理位置对一个城市中房屋的分组上也可以发挥作用。聚类也能用于对Web上的文档进行分类，以发现信息。