计算二重积分∫∫(x/y)dxdy,其中D是由y=x,y=2x,x=1,x=2所围成的区域

1. 计算二重积分∫∫(x/y)dxdy,其中D是由y=x,y=2x,x=1,x=2所围成的区域

计算过程如下：
∫∫(x/y)dxdy
=∫[1,2]∫[x,2x] (x/y)dydx
=∫[1,2] xlny[x,2x] dx
=∫[1,2] xln2 dx
=ln2/2*x^2[1,2]
=3ln2/2
性质：
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。
重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
意义：
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。
当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

2. 计算二重积分∫∫(x/y)dxdy,其中D是由y=2x,y=x,x=4,x=2所围成的区域

答案是6In2

3. 计算二重积分∫∫sin(x2+x2)dxdy.积分区域为D.其中D={(x,y)|π2≤x2+y

如图

4. 计算二重积分∫∫(x/y)dxdy,其中D是由y=x,y=2x,x=1,x=2所围成的区域

∫∫(x/y)dxdy
  =∫[1,2]∫[x,2x] (x/y)dydx
  =∫[1,2] xlny[x,2x] dx
  =∫[1,2] xln2 dx
  =ln2/2*x^2[1,2]
  =3ln2/2

5. 计算二重积分∫∫(x²/y²)dxdy,其中D是由xy=1,y=x,x=2所围成的区域

所围区域在第一象限内，xy=1以上，y=x以下，x=2以左的区域，先对y求积分，再对x求积分，百度输入不方便，过程就不写了，直接出结果，5/4。
∫∫(x/y)dxdy
=∫[1,2]∫[x,2x] (x/y)dydx
=∫[1,2] xlny[x,2x] dx
=∫[1,2] xln2 dx
=ln2/2*x^2[1,2]
=3ln2/2
意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。
当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。 
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

6. 求·二重积分∫∫(x+y)^2dxdy,其中积分区域D:x^2+y^2≤4

计算过程如下：
∫∫(x+y)^2dxdy
=∫∫(x²+y²+2xy)dxdy
=∫∫(x²+y²)dxdy 
由于函数2xy关于x为奇函数，区域D关于y轴对称。
所以：∫∫2xydxdy=0
原算式=∫[0,2π]dθ∫[0,2]r²×rdr
=2π×r^4/4|[0,2]
=8π
二重积分的意义：
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

7. 计算二重积分∫∫√(x^2+y^2)dxdy,其中积分区域D={(x,y)|1<=x^2+y^2<=4}

π*(8ln2-3)。
设极坐标x=cosθ,y=sinθ,1<=ρ<=2
原式=∫0到2π dθ∫1到2 ρlnρ^2dρ
=2π*(1/2*ρ^2*lnρ^2-1/2*ρ^2)|(1到2)
=2π*(4ln2-3/2)
=π*(8ln2-3)。
勒贝格积分
勒贝格积分的出现源于概率论等理论中对更为不规则的函数的处理需要。黎曼积分无法处理这些函数的积分问题。因此，需要更为广义上的积分概念，使得更多的函数能够定义积分。
同时，对于黎曼可积的函数，新积分的定义不应当与之冲突。勒贝格积分就是这样的一种积分。 黎曼积分对初等函数和分段连续的函数定义了积分的概念，勒贝格积分则将积分的定义推广到测度空间里。
勒贝格积分的概念定义在测度的概念上。测度是日常概念中测量长度、面积的推广，将其以公理化的方式定义。黎曼积分实际可以看成是用一系列矩形来尽可能铺满函数曲线下方的图形，而每个矩形的面积是长乘宽，或者说是两个区间之长度的乘积。
测度为更一般的空间中的集合定义了类似长度的概念，从而能够“测量”更不规则的函数曲线下方图形的面积，从而定义积分。
在一维实空间中，一个区间A= [a,b] 的勒贝格测度μ(A)是区间的右端值减去左端值，b−a。这使得勒贝格积分和正常意义上的黎曼积分相兼容。在更复杂的情况下，积分的集合可以更加复杂，不再是区间，甚至不再是区间的交集或并集，其“长度”则由测度来给出。

8. 计算二重积分∫∫(x^2+y^2+x)dxdy,其中D为区域x^2+y^2<=1

具体回答如下：
用极坐标，x²+y²=2x的极坐标方程为：r=2cosθ
=∫[-π/2---->π/2] dθ∫[0---->2cosθ] rcosθ*rdr
=∫[-π/2---->π/2] cosθdθ∫[0---->2cosθ] r²dr
=∫[-π/2---->π/2] (cosθ)*(1/3)r³ |[0---->2cosθ] dθ
=(8/3)∫[-π/2---->π/2] cos⁴θ dθ
=(16/3)∫[0---->π/2] cos⁴θ dθ
=(16/3)∫[0---->π/2] [1/2(1+cos2θ)]² dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (1+cos2θ)² dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+cos²2θ) dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+1/2(1+cos4θ)) dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (3/2+2cos2θ+1/2cos4θ) dθ
=(4/3)(3/2θ+sin2θ+1/8sin4θ) |[0---->π/2]
=(4/3)(3/2)*(π/2)
=π
二重积分的意义：
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。