资料分析之逆向思维求解概率问题

1. 资料分析之逆向思维求解概率问题

概率问题在我们的公考中非常常见，它是反映随机事件出现的可能性大小，通常喜欢与排列组合问题结合起来考察大家。学过数学中的概率问题，我们大家都知道要求一件事情发生的概率，可以用这个公式：事件发生的概率P=满足条件的情况数÷总的情况数，来计算所要求的概率，但题目中经常会出现一类题，正面去求解概率会相对复杂，比如一个简单的扔硬币的例子：
     
 例：连续扔3次硬币，至少一次是正面向上的概率?  
     
 解析：至少一次是正面向上，那就意味着有可能是1次、也有可能是2次、也有可能是3次正面向上，需要分别去讨论每一种情况，相对来说比较复杂。如果我们换个思路，至少一次正面向上它对应的反面情况就是3次都是背面向上，那么我们就可以一步求出3次都是背面向上的概率为  ，总的概率是1，用总的概率减去背面向上的概率即为所求概率  ，即可得至少一次正面向上的概率是7/8。
     
 通过这个小例子不难发现，正面思考情况比较复杂时，可以尝试逆向思考，节省时间又不容易出错。
     
     
     
 给大家总结一个公式：正面的概率=1-反面的概率，在概率问题中正向考虑较为复杂时应用。看几道真题细品一下：
     
 (2020年浙江)某公司对10个创新项目进行评选，选出最优秀的3个项目投入运行。小张随机预测3个项目将会入选。问他至少猜对1个入选项目的概率在以下哪个范围内?
     
 A. 不到50%
     
 B. 50%～60%
     
 C. 60%～70%
     
 D. 超过70%
     
 【解析】第一步，本题考查概率问题，属于基本概率类。  
     
 第二步，本题问至少猜对1个入选项目的概率为多少，正面求解较为困难，从反面求解，至少猜对1个的概率=1-全猜错的概率。总的情况数为从10个中任意挑选三个，情况数为  ，全猜错的情况为从错误的七个里面任意挑选三个，情况数为  ，全猜错的概率为  ，因此至少猜对一个的概率为  。
     
 因此，选择D选项。
     
 (2021年浙江)研究人员在A、B、C、D、E五块试验田中种植甲、乙、丙、丁、戊五种作物，每块试验田只种一种作物，每年都在所有的安排中随机挑选一种进行种植。问在连续的3年中，A试验田至少2年种植同一种作物的概率为：
     
 A.36%
     
 B.48%
     
 C.52%
     
 D.64%
     
 【解析】第一步，本题考查概率问题。  
     
 第二步，正向求解情况数较多，考虑逆向概率，A试验田至少2年种植同一种作物的逆向是A试验田每年种植的作物都不相同，分步考虑，第一年A试验田种植任意一种都可以，概率为1，第二年种植作物不能跟第一年相同，概率为  ，第三年种植作物不能跟前两年相同，概率为  ，故A试验田每年种植的作物都不相同的概率为  ，A试验田至少2年种植同一农作物的概率为1-48%=52%。
     
 因此，选择C选项。

2. 资料分析之逆向思维求解概率问题

概率问题在我们的公考中非常常见，它是反映随机事件出现的可能性大小，通常喜欢与排列组合问题结合起来考察大家。学过数学中的概率问题，我们大家都知道要求一件事情发生的概率，可以用这个公式：事件发生的概率P=满足条件的情况数÷总的情况数，来计算所要求的概率，但题目中经常会出现一类题，正面去求解概率会相对复杂，比如一个简单的扔硬币的例子：
     
 例：连续扔3次硬币，至少一次是正面向上的概率?  
     
 解析：至少一次是正面向上，那就意味着有可能是1次、也有可能是2次、也有可能是3次正面向上，需要分别去讨论每一种情况，相对来说比较复杂。如果我们换个思路，至少一次正面向上它对应的反面情况就是3次都是背面向上，那么我们就可以一步求出3次都是背面向上的概率为  ，总的概率是1，用总的概率减去背面向上的概率即为所求概率  ，即可得至少一次正面向上的概率是7/8。
     
 通过这个小例子不难发现，正面思考情况比较复杂时，可以尝试逆向思考，节省时间又不容易出错。
     
     
     
 给大家总结一个公式：正面的概率=1-反面的概率，在概率问题中正向考虑较为复杂时应用。看几道真题细品一下：
     
 (2020年浙江)某公司对10个创新项目进行评选，选出最优秀的3个项目投入运行。小张随机预测3个项目将会入选。问他至少猜对1个入选项目的概率在以下哪个范围内?
     
 A. 不到50%
     
 B. 50%～60%
     
 C. 60%～70%
     
 D. 超过70%
     
 【解析】第一步，本题考查概率问题，属于基本概率类。  
     
 第二步，本题问至少猜对1个入选项目的概率为多少，正面求解较为困难，从反面求解，至少猜对1个的概率=1-全猜错的概率。总的情况数为从10个中任意挑选三个，情况数为  ，全猜错的情况为从错误的七个里面任意挑选三个，情况数为  ，全猜错的概率为  ，因此至少猜对一个的概率为  。
     
 因此，选择D选项。
     
 (2021年浙江)研究人员在A、B、C、D、E五块试验田中种植甲、乙、丙、丁、戊五种作物，每块试验田只种一种作物，每年都在所有的安排中随机挑选一种进行种植。问在连续的3年中，A试验田至少2年种植同一种作物的概率为：
     
 A.36%
     
 B.48%
     
 C.52%
     
 D.64%
     
 【解析】第一步，本题考查概率问题。  
     
 第二步，正向求解情况数较多，考虑逆向概率，A试验田至少2年种植同一种作物的逆向是A试验田每年种植的作物都不相同，分步考虑，第一年A试验田种植任意一种都可以，概率为1，第二年种植作物不能跟第一年相同，概率为  ，第三年种植作物不能跟前两年相同，概率为  ，故A试验田每年种植的作物都不相同的概率为  ，A试验田至少2年种植同一农作物的概率为1-48%=52%。
     
 因此，选择C选项。