求证：过椭圆上一点作两条垂直直线交椭圆于两点，这两点连线必过定点，并求出定点坐标。

1. 求证：过椭圆上一点作两条垂直直线交椭圆于两点，这两点连线必过定点，并求出定点坐标。

令椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）
令椭圆上一点为P(x0,y0)。过点P作PA⊥PB，交椭圆于A(x1,y1)、B(x2,y2)
令AB所在直线为y=kx+m（假设AB所在直线的斜率存在）
 
由斜率公式有
kpa=(y1-y0)/(x1-x0)（此时x1≠x0，即PA不垂直于x轴）
kpb=(y2-y0)/(x2-x0)（此时x2≠x0，即PB不垂直于x轴）
因PA⊥PB，则有kpa·kpb=-1
即有(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0
即有[x1x2-(x1+x2)x0+x0^2]+[y1y2-(y1+y2)y0+y0^2]=0（I）
 
联立直线AB与椭圆方程有(b^2+k^2a^2)x^2+2kma^2x+(m^2a^2-a^2b^2)=0
由韦达定理有
x1+x2=-2kma^2/(b^2+k^2a^2)（II）
x1x2=(m^2a^2-a^2b^2)/(b^2+k^2a^2)（III）
又A、B都在直线AB上，则有
y1=kx1+m
y2=kx2+m
两式相加并结合（II）得
y1+y2=k(x1+x2)+2m=2mb^2/(b^2+k^2a^2)（IV）
两式相乘并结合（II）（III）得
y1y2=k^2x1x2+km(x1+x2)+m^2=(m^2b^2-k^2a^2b^2)/(b^2+k^2a^2)（V）
 
将（II）~（V）代入（I）有
a^2[(kx0+m)^2+b^2(x0^2/a^2-1)]+b^2[(y0-m)^2+k^2a^2(y0^2/b^2-1)]=0
注意到P在椭圆上，则x0^2/a^2+y0^2/b^2=1
即有x0^2/a^2-1=-y0^2/b^2
y0^2/b^2-1=-x0^2/a^2
于是有a^2[(kx0+m)^2-y0^2]+b^2[(y0-m)^2-k^2x0^2]=0
即有a^2(kx0+m-y0)(kx0+m+y0)+b^2(y0-m-kx0)(y0-m+kx0)=0
即有a^2(kx0+m-y0)(kx0+m+y0)=b^2(kx0+m-y0)(y0-m+kx0)
因P不在直线AB上，则kx0+m-y0≠0
所以有a^2(kx0+m+y0)=b^2(y0-m+kx0)
整理得m=(b^2-a^2)(kx0+y0)/(a^2+b^2)
代入直线AB得
y=kx+m=kx+(b^2-a^2)(kx0+y0)/(a^2+b^2)
即有y-(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)=k[x-(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)]
表明直线AB过定点（(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)，(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)）
 
以下还需要验证两个特殊情形：
（1）若直线PA与PB有一条直线垂直于x轴时，即kpa或kpb斜率不存在时，此时AB仍过定点（(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)，(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)）
证明：令PA垂直于x轴，则PB平行于x轴
由椭圆的对称性易知A(x0,-y0)，B(-x0,y0)
由两点式有直线AB：y-y0=[(y0+y0)/(-x0-x0)](x+x0)
即y=-(y0/x0)x
显然(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)=-(y0/x0)[(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)]
即AB过定点
（2）若直线AB垂直于x轴，即AB的斜率不存在，此时AB仍过定点（(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)，(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)）
证明：令直线AB为x=m（显然-a<m<a），代入椭圆方程有
y1=-b/a√(a^2-m^2)，y2=b/a√(a^2-m^2)
则A（m，-b/a√(a^2-m^2)），B（m，b/a√(a^2-m^2)）
注意到，AB斜率不存在时，PA、PB斜率一定都存在
由斜率公式有
kpa=[y0+b/a√(a^2-m^2)]/(x0-m)
kpb=[y0-b/a√(a^2-m^2)]/(x0-m)
因PA⊥PB，则有kpa·kpb=-1
即[y0^2-b^2/a^2(a^2-m^2)]/(x0-m)^2=-1
即(a^2y0^2-a^2b^2+b^2m^2)+a^2(x0-m)^2=0
而P在椭圆上，即有a^2y0^2-a^2b^2=-b^2x0^2
所以有b^2(m^2-x0^2)+a^2(x0-m)^2=0
即(x0-m)[(a^2-b^2)x0-(a^2+b^2)m]=0
又因P为在AB上，则x0≠m
所以(a^2-b^2)x0-(a^2+b^2)m=0
即m=(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)
显然此时AB（x=m）过定点（(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)，(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)）
 
 
综上，过椭圆上一点作两条垂直直线交椭圆于两点，这两点连线必过定点。（这也就是圆锥曲线直角弦的重要性质之一）

2. 在椭圆 上找一点，使这一点到直线 的距离的最小值。

在椭圆    上找一点，使这一点到直线    的距离的最小值。                   点为                         设椭圆的参数方程为    ，            当    时，    ，此时所求点为    。

3. 在椭圆 上找一点，使这一点到直线 的距离为最小，并求最小值。

     椭圆的参数方程的运用，来研究点到直线的距离公式的运用。         试题分析：解：设椭圆的参数方程为  ，      3分        7分      10分当  时，  ，此时所求点为     .12分法2：设直线x-2y+m=0利用方程组也可求解。点评：考查了点到直线的距离公式的运用，以及椭圆参数方程的运用，属于基础题。    

4. 求证椭圆上任意一点,过此点作二条直线互相垂直且交椭圆与二点，这二点的连线过定点

不好意思，打错了
证明过程实在是太长了，不好打。
这二点的连线过定点
横坐标[(a^2-b^2)/(a^2+b^2)]x0
纵坐标[(b^2-a^2)/(a^2+b^2)]y0
其中（x0,y0）是椭圆上任意一点的坐标。
楼主加点分我给你过程。太长了，我有一个PDF格式的文件，里面证明了所有的圆锥曲线都有这样的性质，恒过一定点
我Q
3
2
7
5
5
2
3
9
0
不一定在线

5. 在椭圆 上找一点，使这一点到直线 的距离的最小值。

     点为           设椭圆的参数方程为  ，    当  时，  ，此时所求点为  。    

6. 已知椭圆 的方程为 ，点 的坐标满足 过点 的直线 与椭圆交于 、 两点，点 为线段 的中点，求

     （Ⅰ）  （Ⅱ）当 a =0， b =0，即点 P （ a ， b ）为原点时，（ a ，0）、（0， b ）与（0，0）重点，曲线 L 与坐标轴只有一个交点（0，0）  当 a =0且  ，即点 P （ a ， b ）不在椭圆 C 外且在除去原点的 y 轴上时，点（ a ，0）与（0，0）重合，曲线 L 与坐标轴有两个交点（0， b ）与（0，0）  同理，当 b =0且  ，即点 P （ a ， b ）不在椭圆 C 外且在除去原点的 x 轴上时，曲线 L 与坐标轴有两个交点（ a ，0）与（0，0）  当  且  ，即点 P （ a ， b ）在椭圆 C 内且不在坐标轴上时，曲线 L 与坐标轴有三个交点（ a ，0）、（0， b ）与（0，0）           （1）设点  、  的坐标分别为  、  ，点  的坐标为  ．当  时，设直线  的斜率为  ，则  的方程为  由已知           （1）  （2）由（1）得  ， （3）由（2）得  ，             （4）由（3）、（4）及  ，  ，  ，得点 Q 的坐标满足方程                         （5）当  时， k 不存在，此时 l 平行于 y 轴，因此 AB 的中点 Q 一定落在 x 轴上，即 Q 的坐标为（ a ，0）  显然点 Q 的坐标满足方程（5）  综上所述，点 Q 的坐标满足方程<img src="http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/03087bf40ad162d9adb294ae12dfa9ec8a13cd20.jpg" width="151"

7. 已知点 是直线 被椭圆 所截得的线段中点，求直线 的方程。

                试题分析：由题意可设  的方程为：  即  由   整理，得    又    的中点为    解得   将  代入  ，得  ，经验证  所以  满足题目要求  所求  的方程为：  即  点评：直线与椭圆相交的中点弦问题的求解一般有两种思路：其一，设出直线方程，与椭圆方程联立将中点坐标转化为两交点坐标，其二，采用点差法，即将两交点坐标分别代入椭圆方程，得到的两式子相减即可得到直线斜率，两种方法都要验证所求直线是否满足与椭圆有两交点    

8. 在椭圆 上找一点，使这一点到直线 的距离为最小，并求最小值。

在椭圆    上找一点，使这一点到直线    的距离为最小，并求最小值。              椭圆的参数方程的运用，来研究点到直线的距离公式的运用。