如图所示,自圆O外一点M引圆O的切线MT,T为切点,过MT的中点A引圆O的割线ABC，交圆O于B和C。求角AMB=角ACM

1. 如图所示,自圆O外一点M引圆O的切线MT,T为切点,过MT的中点A引圆O的割线ABC，交圆O于B和C。求角AMB=角ACM

证明:AT切圆O于T,则:AT²=AB*AC.(切割线定理)
∵AT=AM.
∴AM²=AB*AC,则:AM/AB=AC/AM;
又∠BAM=∠CAM.
∴⊿BAM∽⊿MAC,得:∠AMB=∠ACM.

2. 如图所示,自圆O外一点M引圆O的切线MT,T为切点,过MT的中点A引圆O的割线ABC，交圆O于B和C。求角AMB=角ACM

证明：因为圆O的切线MT
所以AT^2=AB×AC（切割线定理）
因为A是MT中点
所以AT=AM
所以AM^2=AB×AC
即AM/AB=AC/AM
又∠BAM为公共角
所以△ABM∽△AMC
所以∠AMB=∠ACM(相似三角形对应角相等)

3. 如图,MA是圆O的切线,切点为A,MBC是圆O的割线，交圆O于点B和C，延长AM于P，使得AM=MP，当sinMCP=1/2时，

连接AB，AC，因，AM是切线，MBC是割线，根据切割线定理，AM²=MB*MC，又因PM=AM，所以，PM²=MB*MC，
角PMB=角PMC，PM/MC=MB/PM，所以，三角形PMB相似于三角形PMC，角MPB=角MCP，
sin角MCP=1/2,角MCP=30度，所以，角MPB=30度。