数学建模 求解思路
2024-05-07 09:44
1. 数学建模 求解思路
问题一明显要用马尔科夫链来做，目标是证明变化链为正则链二不是吸收链。结果很明显是正则链，因为没有哪一种基因结构不再向其他类型变化也没有哪一种类型会全部死亡。 问题二出现适者生存的选择，因此转变为吸收链，但此时不可以直接求解无穷时的比例，而应该算出所有过程量。将天气变化的影响折算成基因重组的概率大小。
2. 是一个数学建模的问题求解啊？
假设1KG脂肪也可以同样转换为10000卡热量，每天每千克体重消耗16卡用于锻炼（题目这里说的不清楚，事实上，锻炼时间和这个数字之间有关系）。 另外假设，体重在一天之内是常数，脂肪之外（肌肉、骨骼之类的）的重量不变。（这个不是真实情况，但建模需要合理假设。） 该女士每天进食H(t)卡的食物。 星期天为t=0，星期六为t=6。 从而，体重的递推式为： W(t+1) = W(t) + (H(t) - 16*W(t) - 1200)/10000 （1）因为题目里说 某女士每天摄入2500卡食物，周四进食3500卡，我们假设周四之外，她每天进食2500卡。代入递推式，则该女士的体重依次为： 57.1526 57.19116 57.22965 57.26808 57.30645 57.44476 57.48285 （2）为了不增重，则H(t) - 16*W(t) - 1200=0，而W(t)恒等于57.1526，因此H=2114.442卡 （3）若不进食。。。。额。。N周后她就死了。。。（嘻嘻） 如果侥幸不死，则W(t+1) = W(t) *9984/10000 - 12/100，1周后她的体重为55.889。 N周之后，W(7N)=(0.9984)^7N + (0.9984^(7N-1)+...+0.9984^0) * (-0.12) = 0.9984 ^ 7N - 75 * (1 - 0.9984^7N)
3. 一道数学建模中的工程最优化问题，求详细的解题步骤或讲解。
2根*100副/(3M/1.5M)=100根; 3根*100副/(3M/1.2M)=3根*100副/(1.2M*2根+0.6M*1根)=150根*1.2M+150根*0.6M; 4根*100副/(3M/1M)=134根+1根*2M; (6根*100副)-(150根)/(3M/0.6M)=90根 所以共计3M的角钢100根+150根+134根+90根=474根
4. 数学建模求解
5. 数学建模求解
问题：森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一颗树时，应该就地补种一颗幼苗，使森林树木的总数保持不变，被出售的树木其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的 树木获得最大的经济价值。1. 模型假设我们把森林中的树木按高度分为n类，第1类树木的高度为[0，h1]，它是树木的幼苗，其经济价值为p1=0，第k类 树木的高度为[hk-1，hk]，每一棵的经济价值为 ，第n类的高度为 经济价值为 。记 第t年森林中第k类树木的数量，设每年对森林中树木砍伐一次，且为了维持每年都有稳定的收获，只能砍伐部分树木，留下的树木补种幼苗，经过一年的生长期后，应该与上一次砍伐前的高度状态相同，也即与初始状态相同。设 分别是第 类树木在砍伐时的棵树；再假设在一年的生长期内树木最多只能生长一个高度级，即第 类树木可能进入 类，也可能停留在k类中，我们忽略在两次砍伐中死亡的树木，认为每一棵幼苗从种植以后都能生长到收获。设 是经过一年的生长期后从第 类中长高到第 类中的 树木比例，则 是在一个生长期内仍然留在第 类中的树木比例。2.设森林中树木的总数量是s，即 （15-1）其中s是根据土地数量和每棵树所需的空间预先确定的数。由前面的分析，我们先定义高度状态向量和生长矩阵：则没有砍伐的树木生长方程为 为了描述砍伐和补偿种植的树木情况，我们现再引入收获向量和种植矩阵： 根据问题的要求，我们要维持持续收获，所以树木的生长必须维持平衡关系：生长期末的状态减去收获采伐的量后再加上补种的幼苗数应该等于生长期开始的量，即 （15-2）对任何的非负向量 和y，在（15-1）式成立的条件下满足（15-2）式的解就是维持森林持续稳定收获的可行解，由于幼苗无经济价值，故对其不采伐，所以取y1=0,由（15-2）式得 （15-3）在方程（15-3）中，第一个方程是其余n-1方程的和，又由于砍伐量 故有 (15-4)利用收获向量和价值向量得所收获树木的价值为 于是，为了选择收益最大的采伐策略，我们需要在条件（15-1），（15-4）及 成立时求函数 的最大值，该问题从数学上看是一个线性规划问题，利用线性规划的理论与方法可以得出砍伐某一类高度的树木而不砍伐其余树木时，就可以得到最大收益。利用这一结论就可具体求出砍伐哪一类树木，设被砍伐的树木为第k类，则有 (15-5)由（15-3）和（15-5）得 （15-6）由（15-6）式得 (15-7)将（15-7）式代入（15-1）式，得 (15-8)最后得： (15-9) 当森林中树木的各种参数给出后，利用（15-9）式，对k＝2，3，…，n求出 的值，再比较选出最大值即可找到k。
6. 救，几个简单的数学建模问题
如图所示
7. 数学建模优化问题
解： 如上图铺设管道。 设：P点位于炼油厂下游x（km）处，0≤x≤10。铺设的总费用是y万元。 依题意和已知，有： y=4x+6√[2.5²+(10-x)²] y=4x+6√(x²-20x+106.25) y'=4+3(2x-20)/√(x²-20x+106.25) y'=[4√(x²-20x+106.25)+6x-60]/√(x²-20x+106.25) 1、令：y'＞0，即：[4√(x²-20x+106.25)+6x-60]/√(x²-20x+106.25)＞0 有：2√(x²-20x+106.25)+3x-30＞0 30-3x＜2√(x²-20x+106.25) 9x²-180x+900＜4(x²-20x+106.25) x²-20x+95＜0 (x-10)²＜5 10-√5＜x＜10+√5 因为：0≤x≤10， 所以：当10-√5＜x≤10时，y是单调增函数； 2、令：y'＜0，即：[4√(x²-20x+106.25)+6x-60]/√(x²-20x+106.25)＜0 有：2√(x²-20x+106.25)+3x-30＜0 30-3x＞2√(x²-20x+106.25) 9x²-180x+900＞4(x²-20x+106.25) x²-20x+95＞0 (x-10)²＞5 x＞10+√5，或：x＜10-√5 因为：0≤x≤10， 所以：当0≤x＜10-√5时，y是单调减函数； 综上所述，有： 当x=10-√5（km）≈7.7639km时，y有极小值。 y极小=4(10-√5)+6√[(10-√5)²-20×(10-√5)+106.25] =40-4√5+6√11.25 ≈51.1803(万元) 答：当p点位于下游约7.7639km处时，所需费用最低。费用约是51.1803万元。
8. 数学建模问题
超市员工安排及运营问题
摘要
在一些大型服务机构中，不同的时间段内需要的服务量有着显着的不同，从而主管单位在不同的时段雇佣工作人员的人数往往也不同。因此对于既要满足需要，又要尽量减少劳务开支是管理者必须思考的决策问题。
本文我院某校内超市员工安排问题为例，据已给定的各个时间段所需的服务员人数和两个班次与休息时间安排表、职员工资及其他给定的限制，建立整数规划优化模型，得出最优安排，使得既满足超市对职工的需要，又使超市的劳务开支最少。另外本文进一步讨论在已有班次的基础上，对增加更多的班次后的人员安排及劳务支出的变化，以便此超市根据最少的劳务开支做出最优选择。由问题给出的时间和班次安排表，在8：00——17：00和12：00——21：00中每隔一个小时安排吃饭时间，根据班次安排的人数列出线性不等式，根据月支出来列出目标函数，然后设计线性规划模型，用LINGO.8解出人数和最优劳务支出。由此解决了本问题要讨论的最少人数和最优劳务支出。
关键词：优化设计，劳务开支，临时员工安排。
一 问题重述
在一些大型服务机构中，不同的时间段内需要的服务量有显著的不同。例如，交通管理人员、医院医护人员、宾馆服务人员、超市卖场营销人员等。在不同的时段劳务需求量不同，主管单位在不同时段雇佣的临时职工数量往往也不同。因此对于既要满足需要，又要尽量节约劳务开支是管理者必须思考的决策问题。现就我院校内某超市临时员工的班次安排问题建立一个数学模型来进行优化设计，使其既满足超市的营业需要，又能够使超市的劳务开支最少。
超市的营业时间为11：00到22：OO，根据学生的购买情况，以一小时为一时段，各时段内所需的服务人员数如表1。此超市员工由临时工和正式员工构成，正式职工两名，主要负责管理工作，每天需要工作8小时，临时工若干名，每天工作4小时。已知一名正式员工11：00开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时；另一名正式职工13：00开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时,工作、休息时间安排如表2。又知临时工每小时工资为4元。
序号 时间区最少需求人数
1 11：00－12：00 9
2 12：00－13：00 9
3 13：00－14：009
414：00－15：003
5 15：00－16：00 3
6 16：00－17: 00 3
7 17: 00－18: 00 6
8 18: 00－19: 00 12
9 19: 00－20: 00 12
10 20: 00－21: 00 7
11 21: 00－22: 00 7
表2
班次 工作时间 休息时间
1 11：00－20：00 12：00－13：00
213：00－22：00 17：00－18：00
二．符号说明
符号说明如下：
Min表示公司劳务开支的最少值；
Xi表示在第i时段该超市使用的临时工人数，i=1，2，…,11；
三．问题假设（1）以一小时为一时段，假设一小时内的任意时刻所需人数都要大于等于这一时段的最少需求人数。
（2）工作人员的工资每小时与他所在工作时段无关，与他的表现好坏等无关。
（3）假设正式员工在工作时段里不会中途退出。
（4）每个临时员工可在任一时段开始时上班，但要求必须连续工作4小时。
四.问题分析
1．1问题1分析
该问题中超市安排了二个班次来分配正式员工，目标是在满足超市需求的前提下使超市雇用临时工的成本最小（也就是劳务开支最少）。进一步讨论对11点至20点和13点至22点分别安排更多班次其劳务支出的变化，既雇用临时工数量与班次的安排。
1．2模型建立
因每人每小时的工资已给定，结合表三故可得目标函数为： Min 16*( y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+ y9+y10+y11)
在11：00—12：00时间段内，只有Y1个人在工作，得： y1>=8 在12：00—13：00时间段内，有Y1+Y2个人在工作，得： y1+y2>=8 在13：00—14：00时间段内，有Y1+Y2+Y3个人在工作，得： y1+y2+y3>=7 在14：00—15：00时间段内，有Y1+Y2+Y3+Y4个人在工作，得： y1+y2+y3+y4>=1 在15：00—16：00时间段内，Y1个人已下班，有Y2+Y3+Y4+Y5个人在工作，得： y2+y3+y4+y5>=2 在16：00—17：00时间段内，Y1+Y2个人已下班，有Y3+Y4+Y5+Y6个人在工作，得： y3+y4+y5+y6>=1 在17：00—18：00时间段内，Y1+Y2+Y3个人已下班，有Y4+Y5+Y6+Y7个人在工作，得： y4+y5+y6+y7>=5 在18：00—19：00时间段内，Y1+Y2+Y3+Y4个人已下班，有Y5+Y6+Y7+Y8个人在工作，得： y5+y6+y7+y8>=10 在19：00—20：00时间段内，Y1+Y2+Y3+Y4+Y5个人已下班，得： y6+y7+y8+y9>=10
在20：00—21：00时间段内，Y1+Y2+Y3+Y4+Y5+Y6个人已下班，得： y7+y8+y9+y10>=6在21：00—22：00时间段内，Y1+Y2+Y3+Y4+Y5 +Y6 +Y7个人已下班，得： y8+y9+10y+y11>=6
由以上分析可构成一个整数线性规划模型，即：
目标函数为：Min 16*( y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+ y9+y10+y11)
整数现性方程的约束条件为： y1>=8 y1+y2>=8 y1+y2+y3>=7 y1+y2+y3+y4>=1 y2+y3+y4+y5>=2 y3+y4+y5+y6>=1 y4+y5+y6+y7>=5 y5+y6+y7+y8>=10 y6+y7+y8+y9>=10
y7+y8+y9+y10>=6
y8+y9+10y+y11>=6
y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9，y10，y11均为整数且均大于零。
1.3 模型求解
将上述的整数线性规划模型输入LINGO 8.0，：
Model:
min=16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);
y1>=8;
y1+y2>=8;
y1+y2+y3>=7;
y1+y2+y3+y4>=1;
y2+y3+y4+y5>=2;
y3+y4+y5+y6>=1;
y7+y6+y4+y5>=5;
y5+y6+y7+y8>=10;
y9+y6+y7+y8>=10;
y10+y9+y8+y7>=6;
y11+y10+y9+y8>=6;
@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);@gin(y6);@gin(y7);@gin(y8);@gin(y9);@gin(y10);@gin(y11);
end
求解可以得到最优解如下
Global optimal solution found at iteration: 7
Objective value: 320.0000
Variable Value Reduced Cost
X1 8.000000 16.00000
X2 0.000000 16.00000
X3 0.000000 16.00000
X4 0.000000 16.00000
X5 2.000000 16.00000
X6 4.000000 16.00000
X7 0.000000 16.00000
X8 6.000000 16.00000
X9 0.000000 16.00000
X10 0.000000 16.00000
X11 0.000000 16.00000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 320.0000 -1.000000
2 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 1.000000 0.000000
5 7.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 5.000000 0.000000
8 1.000000 0.000000
9 2.000000 0.000000
10 0.000000 0.000000
11 0.000000 0.000000
12 0.000000 0.000000
临时工班次安排如下表
由此可知，原题目中当第1班次上班的临时工作人员人数为8，第5班次上班的临时工作人员人数为2，第6班次上班的临时工作人员人数为4，第8班次上班的临时工作人员人数为6，第2、3、4、7、9、10、11班次不安排临时工上班时，我们可以得出此超市的开支最少，最少值为320元。
二．符号说明
Xi表示在第i时段该超市使用连续工作3小时的临时工人数，i=1，2，…,11；
Yi表示在第i时段该超市使用连续工作4小时的临时工人数，i=1，2，…,11；
Min表示超市劳务开支的最少值；
2.1 问题2分析
现 临时工每班工作可以为3小时，也可以为4小时，：
目标仍然是：在满足超市需求的下使超市雇用临时工的成本最小（也就是劳务开支最少）。进一步讨论对11点至20点和13点至22点分别安排更多班次其劳务支出的变化，既雇用临时工数量与班次的安排。
2．2模型建立
因每人每小时的工资已给定，结合表三故可得目标函数为：min=12*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)+16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);
在11：00—12：00时间段内，只有Y1+X1工作，得： y1+x1>=8;
在12：00—13：00时间段内，有Y1+Y2+ X1+X2个人在工作，得： y1+y2+x1+x2>=8;
在13：00—14：00时间段内，有Y1+Y2+Y3+ X1+X2+X3个人在工作，得： y1+y2+y3+x1+x2+x3>=7;
在14：00—15：00时间段内，有Y1+Y2+Y3+Y4+ X2+X3+X4个人在工作，得： y1+y2+y3+y4+x2+x3+x4>=1;
在15：00—16：00时间段内，Y1个人已下班，有Y2+Y3+Y4+Y5+X3+X4+X5个人在工作，得：y2+y3+y4+y5+x3+x4+x5>=2;
在16：00—17：00时间段内，有Y3+Y4+Y5+Y6+X5+X6+X4个人在工作，得： y3+y4+y5+y6+x5+x6+x4>=1;
在17：00—18：00时间段内，有Y4+Y5+Y6+Y7+X7+X6+X5个人在工作，得： y7+y6+y4+y5+x7+x6+x5>=5;
在18：00—19：00时间段内，有Y5+Y6+Y7+Y8+X7+X6+X8个人在工作，得：y5+y6+y7+y8+x6+x7+x8>=10;
在19：00—20：00时间段内，仍有Y9+ Y8+Y7+ Y6+X7+ X9+X8个人在工作，得：y9+y6+y7+y8+x9+x7+x8>=10;
在20：00—21：00时间段内，仍有Y10+Y9+Y8+Y7+X10+X9+X8个人在工作，得：y10+y9+y8+y7+x10+x9+x8>=6;
在21：00—22：00时间段内，
得：y11+y10+y9+y8+x11+x10+x9>=6;
由以上分析可构成一个整数线性规划模型，即：
目标函数为：
min=12*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)+16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);
整数现性方程的约束条件为：y1+x1>=8;
y1+y2+x1+x2>=8;
y1+y2+y3+x1+x2+x3>=7;
y1+y2+y3+y4+x2+x3+x4>=1;
y2+y3+y4+y5+x3+x4+x5>=2;
y3+y4+y5+y6+x5+x6+x4>=1;
y7+y6+y4+y5+x7+x6+x5>=5;
y5+y6+y7+y8+x6+x7+x8>=10;
y9+y6+y7+y8+x9+x7+x8>=10;
y10+y9+y8+y7+x10+x9+x8>=6;
y11+y10+y9+y8+x11+x10+x9>=6;
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9,y10,y11均为整数且均大于零。,
2.3 模型求解
将下面的模型输入LINGO 8.0，：
Medol:
min=12*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)+16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);
y1+x1>=8;
y1+y2+x1+x2>=8;
y1+y2+y3+x1+x2+x3>=7;
y1+y2+y3+y4+x2+x3+x4>=1;
y2+y3+y4+y5+x3+x4+x5>=2;
y3+y4+y5+y6+x5+x6+x4>=1;
y7+y6+y4+y5+x7+x6+x5>=5;
y5+y6+y7+y8+x6+x7+x8>=10;
y9+y6+y7+y8+x9+x7+x8>=10;
y10+y9+y8+y7+x10+x9+x8>=6;
y11+y10+y9+y8+x11+x10+x9>=6;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);@gin(x9);@gin(x10);@gin(x11);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);@gin(y6);@gin(y7);@gin(y8);@gin(y9);@gin(y10);@gin(y11);
end
求解可以得到最优解如下
Global optimal solution found at iteration: 11
Objective value: 264.0000
Variable Value Reduced Cost
X1 8.000000 12.00000
X2 0.000000 12.00000
X3 1.000000 12.00000
X4 0.000000 12.00000
X5 1.000000 12.00000
X6 0.000000 12.00000
X7 4.000000 12.00000
X8 0.000000 12.00000
X9 0.000000 12.00000
X10 0.000000 12.00000
X11 0.000000 12.00000
Y1 0.000000 16.00000
Y2 0.000000 16.00000
Y3 0.000000 16.00000
Y4 0.000000 16.00000
Y5 0.000000 16.00000
Y6 0.000000 16.00000
Y7 0.000000 16.00000
Y8 6.000000 16.00000
Y9 0.000000 16.00000
Y10 0.000000 16.00000
Y11 0.000000 16.00000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 264.0000 -1.000000
2 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 2.000000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 0.000000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
10 0.000000 0.000000
11 0.000000 0.000000
12 0.000000 0.000000
我们可以得出此超市的劳务开支最少，最少值为 264元。
六 参考文献 【1】本模型中整数线性优划模型【1】来自，姜启源、谢金星、叶俊. 数学模型[M]. 北京:高等教育出版社，2003.8. 【2】本模型中目标函数[2]来自， 附录（程序） Model: Min=1200*(X1+X2)+1500*(X3+X4); x1+x2>=30; x1+x2>=35; x1+x3+x4>=20; x2+x3+x4>=20; x1+x2+x3+x4>=40; x1+x2+x4>=30; x3>=30; x3+x4>=25; x3+x4>=20@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4); end
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