积分上限函数求导

1. 积分上限函数求导

2. 积分上限函数求导

变限积分求导公式
积分上限函数求导，只要记住上述变限积分求导公式，简单的转换即可，积分上限函数求导即上述公式的下限为常数：d/dx∫(a,φ(x))f(t)dt=f[φ(x)]·φ'(x)-0=f[φ(x)]·φ'(x),如：
d/dx∫(a,sin(x))e^t·dt=e^sinx·sin'(x)=cos(x)·e^sinx

3. 积分上限函数求导

4. 积分上限函数的求导

F(x)=∫(0,x)f(t)(x-t)dt
=x∫(0,x)f(t)dt - ∫(0,x)f(t)tdt
故F'(x)=[x∫(0,x)f(t)dt - ∫(0,x)f(t)tdt]'
=[x∫(0,x)f(t)dt]' - [∫(0,x)f(t)tdt]'
=∫(0,x)f(t)dt+xf(x) - xf(x)
=∫(0,x)f(t)dt

5. 关于积分上限函数求导的问题，求解答。

原来的定积分，被积函数的自变量是t，上限是x，下限是0
令u=x²-t²后，
当上下限就必须是新的自变量u的上下限，而u是上下限必须根据t的上下限来变换。
当下限t=0的时候，u的下限是x²-0²=x²
当上限t=x的时候，u的上限是x²-x²=0
所以变化成u为自变量的被积函数后，新的定积分上限是0，下限是x²
注意，决不能因为x²≥0，就把x²作为上限，0作为下限。
因为u=x²是根据t的下限t=0算出来的，所以是u的下限
u=0是根据t的上限t=x算出来的，所以是u的上限。
上下限不能搞反，否则就会差一个负号。

6. 积分上限函数求导

7. 积分上限函数求导

对于积分来说，t是积分变量，x是积分上限，x视为常量。
在换元2x-t=u中，t是原积分变量，u是换元后的新积分变量，
u是t的函数，u不是x的函数。
换元后的第一个积分相当于∫〔a到2a〕【2af(u)】du，
所以其中的a【即x】是可以提出去的。

8. 积分上限函数的求导

d[∫(0,x)
t*f(2x-t)dt]/dx
=
[∫(0,x+δx)
t*f(2x+2δx-t)dt
-
∫(0,x)
t*f(2x-t)dt]/δx
=
{∫(0,x)
t*[f(2x+2δx-t)-f(2x-t)]dt}/δx
+
[∫(x,x+δx)
t*f(2x+2δx-t)dt]/δx
而因为[f(2x+2δx-t)-f(2x-t)]/δx
=
2f'(2x-t)
{∫(0,x)
t*[f(2x+2δx-t)-f(2x-t)]dt}/δx
=∫(0,x)
2t*f'(2x-t)dt
令g（t）=
t*f(2x+2δx-t)，记g(t)的原函数为g(t)
则[∫(x,x+δx)
t*f(2x+2δx-t)dt]/δx
=
[g(x+δx)-g(x)]/δx
=
g'(x)
=
g(x)
=
xf(x)（δx为无穷小）
原式=∫(0,x)
2t*f'(2x-t)dt
+
xf(x)
不能看做复合函数，因为运用复合函数求导公式时，复合函数的某个自变量必须在一个函数内。
如f[g(x)]，对x的导数是f'[g(x)]*g'(x)
而自变量不在同一个函数里的，如f[g(x),x]这时候就不能用复合函数求导公式，即f[g(x),x]的导数不等于f'[g(x)]*g'(x)。
若把原式看做复合函数，
令∫g(x)dx
(上限s,下限t)=
h[g(x),s,t]
则∫t*f(2x-t)dt（上限x,下限0）=
h[t*f(2x-t),x,0]，自变量x不在同一个函数内。