如何学习高中数学

1. 如何学习高中数学

第一.你要有对数学不厌倦的心理
第二,不要盲目看课本攻知识点,那么多你能全弄完？我们是要在短时间内提大分数呢,
所以,买一本自己省的数学卷子,不要单元要模拟题,就这三四月出的最好,
然后呢,拿出第一张,挨个做,对,你基础不会会有一大堆都不会,不怕,要的就是这个效果,
你把不会的全勾起来,不要看答案,现在该拿出课本,从第一个不会的开始一个一个在课本里找那题所对应的知识,
现在才是记知识点,看完之后回过头来看题,应该会了一点,只是一小部分,大部分只看书不管用,你不知道如何运用这个知识点
所以要看答案记住这个解题的方法,就是这样来,第一张卷子你可能要用一周,我就是,但是第二张不会的明显就少了，
继续下去,一个月后效果显著,数学的基础知识重要,但没解题方法根本无济于事,此方法是要在短时间内把基础和方法一同贯彻
先是选择题,一般前五个题都很简单,做到我前面说的一般细心点错不了的,
最后五个有中等题三个和难度题两个,这是我们可以用逆向法排除
大题么,一般考证明,数列,三角函数,统计概率,导数和解析几何概率拿满分没问题吧,数列？那个是最简单的了,第一问一般都是求an,记住等差等比的公式,
一共四个简单啊,难点的就是给你个sn和an的关系式,这个就靠我告诉你的一个月卷子的方法里面会解决掉的,
累加法什么的,第二问是重点,一般问你树列前N项合,要求你会用列项相消法错位相减法还有最简单的一个一等差和一等比相加,
文科就考这三种,在你前一个月练卷子找问题时就会突破这个的你放心
证明题第二问不会不勉强,第一问大家应该都能做出来,毕竟很简单
最后两个大题导数和解析几何都是第一问超简单第二问超难,一个月完后第一问都能突破,第二问果断放弃

2. 如何学习高中数学

学好数学的敲门砖：消除恐惧心理 
        学好数学首先要消除恐惧心理。你的数学成绩不会因为你是女生而无提高余地，也不会因为你没有上过及格线而永无翻身之日，数学学不好并不因为你比别人少根筋，更不要强调自己的思维有多么感性并以学不好数学为荣，因为那是十分无聊的。我见过很多自称不理性而不学数学的人，事实上他们在文学、艺术上的造诣也并不高，感性只是一个他们逃避学习的借口。 
        我可以十分肯定地告诉你数学是非常优美的。这种优美不仅仅是存在于少数人眼中脑中的一种幻象，是宇宙中最客观实在最亘古不变我行我素的。但请不要只站在门外抱怨教育的枯燥，请自己不存任何偏见芥蒂地坦诚地推开门走进来，摘掉你的有色眼镜，抛弃你的自以为是。要相信自己是能够学好的，只要肯下功夫并且有正确的学习方法。 
        重视数学课堂 提高上课效率 
        我们要感恩，因为我们能够在人大附中学习是非常幸运的。请跟我一起说：谢天谢地。 
        在这里你要相信自己的老师是负责任的，是很有水平的，跟着老师走是绝对不错的。所以我们一定要好好听讲，认真完成老师布置的作业。 
        有人要请家教才能学好，其实因为是上课不仔细听讲。 
        你的大部分疑问困惑在上课时老师通常会提到，有什么大家都不解的地方也一定要在课堂之内把它解决。上课非常重要，是你在学校学习的最大组成部分，是你和老师的主要接触时间，是你大部分知识的直接来源，是你在人大附中最大的财富之一…… 
        总之，再次强调，一定要认真听讲。 
       多与老师交流 
        冰冻三尺非一日之寒。学好数学并非一夜之间的事情。寂寞苦行，刚开始你可能茫无头绪，你可能艰难摸索，下了功夫也找不到自己的学习方法，花了大量的时间也不得要领，你孤独的脑袋想不出数学优美在哪儿。那么，请求助于你的老师，请相信你的老师。 
        在很多时候这话并不对。当你对数学没有兴趣，请求助于你的老师；当你勤奋一段时间却不见成绩提高，请求助于你的老师；当你有题不会做……你再好好想想老师讲过的东西。还不会做，就先冷静一下做些别的或者看一下书，保证再看时你很清醒并且对知识已经有了新的认识。还不会做的话，问问老师或者同学。 
        保持完整的独立思考的过程是非常重要的，不能什么都依赖别人，将来你总会需要独自面对各种难题，老师的时间也不是无限的。 
       要正确对待统练 
        学校生活毕竟不只是上课，还有一个极为重要的部分是我们终生不会忘却的……统练。开始你可能不习惯，你不会时你可能不知所措，但是不要气馁不要放弃，你遇到很大的考验了。踏踏实实地做好每一道题，不要潦草，养成良好的答题习惯；认认真真全神贯注地去做，一直提醒自己要精神集中，这样遇到大考也一样不会紧张；每道题回忆一下这种题的特点和规律，提醒自己一遍要审题要答题，这种思考是不需要占时间的。遇到不会做的，试着冲一冲，如果是专题性考试，可以从选择题中总结知识点用到解答题中，这是非常实用的技巧，而且很锻炼逻辑思维能力。真正遇到绝路，以最少的知识获得最高的分也是一种很大的本事！高考经常会遇到这种情况，所以能迅速灵活变通的人是很占便宜的。要让遇到不会做的题成为一种充满刺激的挑战，而不是一张催你绝望的符咒。考试中总结的规律都是最实用的，从提高成绩来讲是最直接的。不要怕，要把统练当成每天的必修课程，像吃饭喝水一样自然。 
        不要跟别人比，只要超越自己。保证错过的东西无论如何要弄透不会再错，这是非常重要的，是统练的意义核心所在，保证这一条你就能得到很多东西，而要保证这一条你并不一定要付出很多东西。 
        有的同学应该会准备错题本吧，提醒一下不但要记还要看要复习。 
    要注重基础的学习 
        每人学习方法不同，但有些东西都是一样的。首先要打牢基础。你可以心算不强，但（73+27）这种东西如果你还要动笔就太恶心了。 
         拿立体几何作例子，有几条公理？都是什么？每条公理都能推出哪些定理？垂直同一平面两直线平行对吗？可以直接用吗？平行于同一平面两直线呢？垂直于同一直线两平面平行吗？可以直接用吗？这些东西都要死记，一定要非常非常清楚。数学要背的东西非常少，但由于都很重要，一定要记得很熟才可以。 
        除了记，有的东西还要练。比如解析几何，把直线带入圆锥曲线方程，我高三做解析几何特慢就因为一直在干这个，很丢人，而且总在这儿出错。这东西就是要练，非常无聊。真正考试的时候不能让这种东西浪费你的时间，太亏。不用那么苦，像这种小技巧，自己练十多道题就肯定记住了，以后跟着老师复习就可以。但你要是死活不学谁也没辙。 
        这种技巧有多少呢，怎样才能一网打尽呢？好好看课本吧，好好听老师讲课吧，认真做统练题自己发现吧。这种话看起来是废话，其实是真理。基础很扎实你可能还是有题不会做。看着这题长篇大论不知所云无从下嘴首鼠两端。想必大家都有过这种经历。怎样才能避免呢？ 
        先搞清一件事，我们所学的知识是非常非常有限的。缺点在于这些知识在反复重复的过程中变得很枯燥，很难激起你对数学的兴趣；优点在于知识有限意味着解题方法有限。解题的时候抓住通性通法，问题就能迎刃而解。 
         比如三角函数，你的工具无非是两角和与差的正弦余弦正切、正弦余弦定理，就这么简单！至于诱导公式、倍角公式，和两角和差的公式本质上一模一样；半角公式每次考试倒推一遍绝对来得及。这样一看到要求化简，就先把多余项去掉，再看看式子现在的样子像不像两角和与差的公式，肯定是像的，否则就是你看错了。一看到有边长的条件或问题，就想正弦余弦定理。规律性的东西就那么一点点，不要被题目的障眼法蒙蔽。 
        解析几何被包括我在内的很多同学视作心腹大患，但后来发现方法也很简单：先把所有的已知条件用最简单的方法列出来，不用考虑未知数多不多的问题，你的方程组中就算有五六个未知量也不用担心。然后就化简，方法有两种：设而不求和用斜率。设而不求就是把完全对称的式子减一减，用斜率就是把直线方程带入圆锥曲线。当然化简之前之后可能有若干步非常简单的变形，但如果你对化简的意志坚定，就会发现那无非都是些小把戏，有时候直接给你做好半成品反而更方便。不管多少个未知量，化简以后肯定就会变得非常简单，这时候你再带入消元就不那么容易错了。否则先带入一部分再化简很可能就乱套了。 
        这种规律有时候要听老师讲，有时候要自己总结。就是自己做完题多想一想。像这种思考，改错，看错题本之类的活动的时间一定要保持不少于做题的时间，否则傻做题真的很傻。 
       学数学要抓细节 
        会做题以后还有一点，经常被搞数学竞赛的同学忽视，也是一些平时不太“聪明”的同学能后来居上的关键：抓细节。 
        前文说过，字要工整，有的题要答题。这真的非常重要，不可小视。有的题需要固定的解题格式，也马虎不得。答案有随意性的时候，一定要选择最保险的答案做答。错题也要往对了做。不许随便跳步。 
       高考前梁老师曾经反复强调立体几何哪些步骤可以跳，哪些不能跳，我只记住了后一半。提高做题速度的正当方法是在工整不跳步的前提下提高写字速度缩短思考时间，而不是跳步。 
        而且有时候细节不是细枝末节。比如你忘了查判别式，可能会得出一个多余答案，那你这道题后面的工作量加倍不说，还能剩下几分就很不好说了。

3. 学习高中数学的方法

快速提高高中数学成绩第一阶段
掌握每一个公式定理
做课本的例题，课本的例题的思路比较简单，其知识点也是单一不会交叉的，如果课本上的例题你拿出来都会做了，说明你已经具备了一定的理解力。

做课后练习题，前面的题是和课本例题一个级别的，如果课本上所有的题都会做了，那么基础夯实可以告一段落。

2快速提高高中数学成绩第二阶段：
进行专题训练提高数学成绩
1.做高中数学题的时候千万不能怕难题!有很多人数学分数提不动，很大一部分原因是他们的畏惧心理。有的人看到圆锥曲线和导数，看到稍微长一点的复杂一点的叙述，甚至看到21、22就已经开始退却了。这部分的分数，如果你不去努力，永远都不会挣到的，所以第一个建议，就是大胆的去做。前面亏欠数学这门学科太多，就算让它打肿了又怎样，后面一点一点的强大起来，总有那么一天你去打它的脸。

2.错题本怎么用。和记笔记一样，整理错题不是誊写不是照抄，而是摘抄。你只顾着去采撷问题，就失去了理解和挑选题目的过程，笔记同理，如果老师说什么记什么，那只能说明你这节课根本没听，真正有效率的人，是会把知识简化，把书本读薄的。先学学你能思考到答案的哪一步，学着去偷分。当然，因人而异，如果你觉得还有哪些题需要整理也可以记下来。

3.高中数学试卷怎么做?我的习惯是模拟题做专题练习，即我复习三角函数，我就一天做五套卷子的函数，练选择题，我就刷选择题。高考卷子则是完全模拟，而且优先挑自己省的以及和自己省相似的卷子模拟，时间的跨度以三年内的为准，因为我当年是课改的第二年，所以第一年的卷子我做的特别细致。

以上是为各位考生总结高考黑马真阳学好数学的相关方法，希望对广大考生有一定帮助。不管结果怎么样，经历过，总会有结果的!高考的朋友们，为你们祝福，也为你们祈祷!愿梦开始的地方，也是梦想实现的地方!

4. 如何学习高中的数学

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5. 怎样学习高中数学

认真听课，好好写作业就好了。
1 . 适用条件



[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。



注：上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。



2 . 函数的周期性问题(记忆三个)



(1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;

(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;

(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。



注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。



3 . 关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下



(1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2

(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;

(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称



4 . 函数奇偶性



(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;

(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项

(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空



5 . 数列爆强定律



(1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);

(2)等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差

(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立

(4)等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q



6 . 数列的终极利器，特征根方程



首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，

a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。



二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数)



7 . 函数详解补充



1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外

2、复合函数单调性：同增异减

3、重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。



它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。

6. 怎么学习高中数学啊

一、课内重视听讲，课后及时复习。 
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。 

二、适当多做题，养成良好的解题习惯。 
要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。 

三、调整心态，正确对待考试。 
首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感。 

在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分；对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥。

7. 什么学习软件可以学习高中数学？

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8. 请问学习高中数学有什么用，对人今后的益处是什么？

数学与我们的生活

史克礼

各位领导，各位老师：大家好！

      今天很高兴有这样的机会和大家进行交流。我交流的题目是：数学与我们的生活。首先我说明：数学虽是我的专业，但我的数学知识非常非常有限，只能参考大量的资料，所以难免有“拿来我用”的嫌疑。不妥指出，请指正。今天的报告如果对大家有一点点用处，我就感到很欣慰了。

      我的报告分为三个部分：一是数学到底有没有用？二是数学有什么用处？三是数学意识与数学思维。

一、数学到底有没有用

      我们知道，大多数人在经历义务教育时读了9年数学，高中毕业时就读了12 年数学。在大学里，无论是学理工类还是经济管理，都要学习数学。所以每个人花在学习数学上的时间最长。现在我们回过头来想一想，我们学到的数学知识是否有用？数学对我们有什么帮助？在日常生活中我们有没有用到数学？我感觉好像不如其他基础课程那么明显。事实上，我们学习的数学知识还是300年前或更早的一些知识，对于近代数学我们不是很了解。比如，媒体上讲歌德巴赫猜想，好像歌德巴赫猜想就是数学，其实不是这样。不仅一般人不了解，就是数学的专家对隔行的数学也不是很了解。这种情况恰好与其他的科学形成了显明的对照，而且这种对照是非常明显的。因为即使老百姓，只要稍微注意一点科学或技术的发展，就知道现在的微机、网络。网络的普及只有几年的时间。再说最近同样普及的东西----激光，1960年开始有第一台激光器。还有基因组计划是在20世纪80年代开始的，这个一般了解科学的人都知道。克隆当然是家喻户晓了，1997年开始的；干细胞，1998年才有；纳米技术，也是90年代才有。可是你要问数学有哪些成就，在90年代有什么成就？不仅大多数普通人不知道，就连数学家也不知道。换句话说，20世纪有哪些重要的数学家？也不知道。我就知道华罗庚、苏步青、陈景润、陈省身和美籍华人丘成桐。对于世界数学家就知道的更少。所以，数学虽然经过了如此费劲的教育，但是我们自己的知识和在日常生活中的应用却非常之少。这是一个矛盾，我们该如何理解这个问题？在讲数学和日常生活之前，我首先要谈谈数学现在到底有没有用？

      首先我们要有一个概念：现代数学非常重要，而且对于现在的科学技术起了非常重要的作用。只不过数学是一个幕后英雄！

我们看看20世纪一些重要成就。

      数学成就首先是数学家的成就，20世纪最伟大的数学家之一就是诺依曼。虽然现在计算机已换了好几代，但它的程序设计的思想确实是诺依曼提出的，所以人们常称诺依曼是“电子计算机之父”。而且现在还说诺依曼型计算机，想必大家还是知道他的名字的。诺依曼是一个很伟大的数学家，计算机只是他的成就的十分之一。它的成就中很重要的一个是对策论。对策论的应用现在已经非常广泛，而且好多经济学家由于对策论方面的成就拿了诺贝尔奖。像诺依曼这样的数学家，能提出计算机设计思想中最基本的东西，而且至今没有太多的改进。虽然工程技术人员、物理学家在计算的发展方面做出了不可低估的贡献，但作为数学家的诺依曼却首先提出了整个思想。

      第二个例子，影响20世纪最重要的一件事情是核武器。最初，美国在研制原子弹和氢弹时，当然是物理学家、化学家和许多其他重要的科学家作主角。但是像制造原子弹这样的技术，没有数学家行不行？光靠试错实验行不行？只要翻开历史，你就会发现数学家在这里面起了很重要的作用。例如，在制造氢弹时，物理学家估计氢弹不可能制造出来，因为氢弹爆炸会使整个地球和地球的大气燃烧，若是整个地球都毁了，氢弹就无法制造出来。这时要验证或否定这个观点是不能靠实验的，在这种完全未知的情况下数学起了作用。经过数学家的计算，断定氢气爆炸不至于引起整个大气的燃烧，可以造出氢弹。而造原子弹时需要做多大体积，选择怎样的爆炸方式，也无法进行实验，需要完全依靠数学的计算。所以，美国在开始造原子弹时，经历了不能做实验，只能靠数学计算的过程。

      第三个例子，经济学现在是一门非常重要的科学，90年代经济上最热门的经济理论叫金融数学。金融数学是关于股票、投资的学科。对于股票的研究正好从100多年前，就是1900年开始。有位叫庞加莱的大数学家是20世纪最了不起的数学家之一，他在100对年前就知道混浊，他是最早提出混浊的人。他有一个学生叫巴谢里埃，在研究股票市场的时候，发现这个股票市场和布朗运动完全一样，而布朗运动就是最典型的随机过程。随机过程理论当然是现在概率论中一个最重要的方面。现在的金融更频繁地运用随机过程理论来研究一些随机问题，设计出来许多所谓的衍生的金融产品。衍生的金融产品目前在国内还没有，但是美国在上世纪70年代就开始交易了。这不是具体的交易股票，而是将股票的指数、期货或期权进行交易，即交易你的合同。一个合同本身是一张白纸，是你可以购买这个股票的凭据。那么这个合同值多少钱就是数学金融中最重要的问题。对于一个合同、合约、购买权利，你应该如何定价？买一张桌子、椅子你可以定价，可是买一个合同如何定价就要用很多的概率论知识，特别是现在概率论中最新颖的部分----- 随机数学。

       另外一个例子是我们常常提到的CT，它现在已经很普及了。CT是透视的一种，它通过每一段切点来合成出一个整体的图像，这是一个很难的数学问题，可是这个数学问题早在1917年就被一个数学家解决了。CT技术实际上是X光技术，他可以把你体内的立体信息检查出来，所以这种检测手段在医学上很重要。现在除了X光技术以外，还有很多很多新的手段，如核磁共振、正电子扫描等等各种各样新的检测手段，这些技术都以数学为基础。通过上面的例子可以说明，数学是一个很开放的领域，它总在不断的进步，而且这种不断的进步形成了一种非常丰富的资源，在某一个适当的时候，就可能从中发掘出很重要的东西。这说明数学走在科学技术发展的前沿。

二、数学有什么用处

      对于那些不是真正研究数学的一般人来说，数学到底有什么用处？一方面，我们应当设法利用整个数学资源，在一定向导的带领下到数学领域去转一转，不必知道细节，只要知道数学的大致内容就行了。另一方面，通过数学可以使我们的思想方法有一个进步。例如在日常生活中，如果能运用数学思想方法，就可以向上台阶一样，每往前迈一步就会有许多收获，有时可以避免上当受骗。今年暑假我在兰州，孩子她小舅经常买彩票，他问我能不能想办法知道下次彩票的中奖号码。我的回答是：假如我知道这个号码，我自己就买了，就不告诉你了。所以，懂得数学的人或者说数学家不可能通过想买彩票这样的事情发财。实际上，数学家知道的是一个总体现象，而一般人只关心她自己的个别现象，这两点是非常不同的。彩票太复杂，就好比掷骰子。概率论来自赌博，虽然出身不好，但它却成为很重要的科学。概率论考虑的是所有可能的情形，并不是只考虑赢得情形，这两点是完全不同的。因此概率论所能告诉你的是：掷一个骰子，掷出一点、两点、三点、四点、五点或六点，你不是掷成这个点就是掷成那个点，假如这个骰子是均匀的，那么你掷出每一点的概率都是六分之一，这是一个很简单的概率问题。假定每一个彩票都处于一种等可能性的状态，那这些彩球就完全是决定性的。但事实上，彩票严格地说不是什么概率，因为彩票在发行的时候事先已经把一切都做好了。你去买彩票的时候，中奖机会是多少，也有个客观概率，你可以去算一下。但是，发行彩票的人事先把这笔帐早已经算清楚了，因为彩票就那么多，里面有多少张头等奖、一等奖、二等奖、三等奖等他心里很有数。所以发行彩票的人肯定赚钱，没有赔钱的可能性，最多的就是彩票没有卖出去。但是，如果假定彩票是基本均匀的，那就成为等可能性的。在这种等可能性的情况下，我们可以容易地计算出概率大约是八百多万分之一，这是一个非常小的可能性。有人说，我花了8万怎么也没有中奖？花8万才是百分之零点五的概率，想要必中的话就得花1600万买下所有的号码，数学家只能告诉你这个。

另外一个很有意思的问题是，假设我有一个号码是1234567，这个号码看起来不大可能摇出来，实际上，如果按假定的等可能原理，这个1234567和2441516或别的号码的概率是完全一样的。根据这个原理，你可以设一个号，每次都买这个号，按理说到了一定的时候你就会碰到这个号。但并不是说你第一个回合就能碰到，而是经过800万次后，你就能等到这个概率论中的一个随机过程。所以数学家只能告诉你这个或那个可能性有多大，而不能告诉你一个中奖号码。因为这只是汪洋大海中的一种，这就是数学家的思想方法。

       再说一个例子。从前一个阿拉伯的国王有一个宰相，这个宰相立了大功，国王问他需要什么赏赐。宰相说，你给我一个棋盘（8×8的国际象棋棋盘），在第一个格子里放一粒米，在第二个格子里放两粒米，在第三个格子里放四粒米，在第四个格子里放八粒米，每一个格子里的米粒数是前一个格子米粒数的二倍，那么第五个格子里就放了十六粒米，如此放下去，到了最后一个格子当然就是2的63次方粒米。国王说那简单，我答应你这个条件。事实上，这棋盘上的粒米就是把这个国家的所有粮食都放进去也不够，因为这是一个指数增长问题。通过计算这些米立刻把地球表面覆盖3厘米厚，国王当然做不到。而传销的道理和给棋盘中放米的道理完全一样。为方便说明，假设一个人发展10个人，那第一个人是开始做传销的人，是10的零次方，一个人发展10 个人就是10 的一次方，可10个人再发展10 个人就是10 的二次方，当发展到10 的五层就是10 的5次方——10万人，10 的6次方就是100万人。这样要在一个局限的范围内，到了四五层就无法传下去，因为按照指数增长到一定程度就没有再多的人让你去传了。假如到了第8层那就是一亿人，这根本不可能实现。指数增长和一个一个增长不一样，一个一个增长是等差级数，而指数增长是如此快，以至于你不可想象。这就是为什么好多人传销上当受骗的原因。因为到了一定的级就无法传下去，只能往上传，往上传人家又不干，那你就只能往下传，可是已经没人可传了。既然利润都给了上头这个人，其他人就只能倾家荡产。这些在日常生活中碰到的实例并不要求你学什么数学理论，只要有一个数学的思维方式就行了。

       还有，我们现在买房买车时搞的按揭。按揭贷款到底合算不合算？这是一个消费行为的准则问题，人和人之间的差别会很大。但是说到底就是一个观念。对任何人来说，钱都是有时间价值的，不同时间钱的价值不同。比如买房子，年轻人买房子可能没有什么顾虑，因为他可以贷款30年，负担比较轻，而且年轻人的志向很大，想将来工资会越涨越高，可能赚大钱，所以慢慢还，心理上没有什么压力。但是年纪比较大了，到了四五十岁，甚至接近六十岁了，要贷款买房子，一方面银行不贷给你了，银行贷款的年龄不超过65岁，65岁以后就不能贷给你了；另一方面，你的年纪大了，自己也得考虑马上就退休了，退休后工资就固定了，那你就没办法还贷款。所以每个人在考虑问题时都会考虑到时间对自己的影响。也就是说，你今天的钱和将来的钱进行比较，每个人都会考虑它的价值——时间价值。虽然一般人不会像我们学数学的人拿计算机好好算算，只是在心里估计一下，但实际上每个人在算的时候都把将来的钱和现在的钱进行比较。比如有些很有钱的人，像有些老总们，他们即使有钱，也愿意去贷款。当他买房子的时候，明明他的存款一次就可以把房子买下来，但他也愿意搞商业贷款。因为他有一个企业需要投资，虽然他可以向银行去借钱，但银行的那个贷款利率比住房贷款利率高，这个当然不合算。

       数学最重要的一点就是它是精密科学。这要求必须清楚概念的含义。在广告中最常见的是，本产品高科技含量百分之五十或百分之五十五，更有甚者给你个带小数点的百分之五十五点九八。可是，首先什么叫高科技含量不知道；也不知道百分之五十五点九八以外的部分叫什么，是低科技含量吗？这种说法就是迎合那种一听高科技就眼睛一亮的人。此外，对数字特别迷信也不可取。比如14．56好像精确的不得了，那一定非常可靠，这完全是谎话。有许多时候只相信数字还不如没有数字，因为有许多时候有这个数和没有这个数效果完全一样，根本就没有用，那只是用来欺骗大众的手段。还有一个常见的说法，以前是讲祖传秘方，药到病除，一针就灵诸如此类的话，现在当然比较高级了，用到数学的概念：治愈率、有效率是百分之五十七点八、百分之九十八点九八。这个数字是怎么来的你可能不知道，如果就两个人，一个治好了一个治坏了，就说有效率是百分之五十，这样行吗？况且治好了的人是靠这个药治好的还是自然痊愈的，你都不知道，你就可能听信这个百分之五十！或者说这药对两个人都有效，有效率就成了百分之一百。其实，这个所谓的百分数要看取样在什么集合内，并且统计上还有很多规则，不是随便说就行了。所以在这些地方不要精确的语言，数学家会思考这句话到底是什么意思，这个数字是怎么来的，而这正是数学家平时训练出来的思想方法。

       当然，平时有一些事就需要我们去思考。例如气象台预报中播报下雨的概率是百分之四十、百分之六十、百分之八十，这是说有百分之四十的地方下雨，或者有百分之四十的时间下雨？所以这个下雨概率要想一想。它的意思无非是：百分之五十以下的概率下雨，你出门可以不带雨伞，可百分之八九十要下雨的话，你出门就要带把雨伞，目的是提醒你有没有东西需要遮盖，或不要洗衣服等。这实际上是给我们一个参照的数字，因为有很多原因导致这个数字不太精确，所以只能作为一个参考。在这些问题上，你对于数学要有一个概念，要在每一种情况下进行思考，这是学数学的一个思想。不要看见数就轻信，就以它来指导你的生活，这样做出的决策会是你的生活出现问题。

三、数学意识和数学思维

        这样说来，我们怎样通过数学来上一个台阶呢？首先数学帮助你在思维上迈上一个台阶，这个台阶主要有四个方面的要求：第一，要有数量的观念。但这里要避免一个误区，你首先要能确定这个数能反映本质特征，因为有许多数无法进行衡量。像有的人说的道德值多少钱一斤？道德这种事物很难用数来衡量，所以有许多事物是不能用数来衡量的。第二，用数衡量要适可而止。过于准确或小数点后面许多位对于指导生活没有任何意义。例如下雨的概率是百分之三十九点五三，这小数点后面的数字根本没有意义。又比如现在比较预测的经济增长率，今年经济增长率原预测是增长百分之二点一，实际是百分之二点零，或是百分之一点九，两位数就足够了，况且这两位数还不准确，那后面的数字有什么意义？这说明对数量要有一个正确的观念：数学上的每一个想法是如何的出来的，都应该有一个确切的含义。第三，要有一个合理的思维，特别是合乎逻辑的思维。第四，要有一个简便的方法。数学家总是考虑如何把一个复杂的东西整理成一个简单化的东西，这并不是为简单而简单，而是因为人脑要记住的东西实在太多了，不能把一切都记住，所以需要把比较复杂的东西变成简单的东西。大宝广告词说得很有意思：把复杂的东西变成简单的东西——贡献，把简单的东西变成复杂的东西——累得慌。确实，人类现在生活在一个很复杂的世界，要知道有些事是不可能的，但你应该有一个简化事物的方法，在数学中有很多这样的方法。例如我们常说的优化，告诉你应该如何进行投资，就是不要把所有的鸡蛋都放在同一个篮子里——这就是优化。比如你家里的钱，多少存进银行，多少用于投资，投资如何分配等。九月三号早晨，我在中央一台“走进科学”栏目看了一个内容，很受教育。上海的一个出租车司机藏先生每月都能挣八千元以上的工资，而其他的司机最多就是三千来元工资，他被人们称为“神奇的哥”。好多人都不相信，以为他在吹牛！中央电视台记者进行跟踪采访，发现确实是这样。事实上，他在十四年的出租车生涯中，肯动脑子，肯学数学，应用了对策论、概率论、优化论中许多知识。比如早晨出车时间、行车路线、吃饭地点、拉客地点等都提前做了预算。优化的方法在数学上都是能证明的，在概率论或信息论中都有应用。这种简化的方法我们从小学一年级就开始学，一加二，二加三，一直加到一百，如果你一个一个的傻加就是复杂的方法，高斯就能很简单的算出这个结果。想要处理不简单的问题，就要用一个比较简单的方法。但是数学家所提出的数学的简单的方法和我们平时说的简单的方法不一样，数学家把事物分成两个部分，其中之一是繁琐的部分：事物做起来非常繁琐，但很常规，那你就可以机械化的去做。这正是我国数学大师吴文俊先生说的，数学中有很多东西可以机械化，凡是机械化的东西，数学就认为你已知了，就该把你的主要智慧放在最核心、最困难的问题上。凡是已知的，数学家就不再重复了。比如要知道今天下午听报告的人多还是报告厅的座位多，一般人用数数的方法，而数学家就用对应的方法。这个方法很重要，用它很容易比较两个无穷集合元素的多少。

      所以，在日常生活中，我们无论做什么事情，在思想方法上向前迈进一步，你就会感到数学还挺有意思的。不一定去念大学，念大学不见得有效。学数学首先要学习他的思想方法，其次是通过交谈或各种情况来利用这个资源，因为现在有许多资源确实存在，只是我们不知道，不会用而已。

     我的报告就到这里。谢谢大家！

                                                        2006年9月