高数问题,用微元法求旋转体的侧面积怎么求,我想要详细的推倒过程,谢谢!!!

1. 高数问题,用微元法求旋转体的侧面积怎么求,我想要详细的推倒过程,谢谢!!!

把旋转体分割成任意小的小块，每一小块可以看成曲边圆柱体。
假设函数y=f(x)≥0在x=a,x=b之间的曲线绕x轴旋转。
则这是的体积微元为2πf(x)√{1+[f'(x)]²}dx
其中2πf(x)是曲边圆柱体的底面周长，高为弧长√{1+[f'(x)]²}dx
所以旋转体的侧面积为:
S=∫[a,b] 2πf(x)√{1+[f'(x)]²}dx

扩展资料就“微元法”的应用技巧而言，最为关键的是要掌握好换“元”的技巧。因为通常的解题中所直接选取的“微元”并不一定能使“权函数” 满足形如（4）式所示的“平权”的条件，这将会给接下来的叠加演算带来困难。
所以，必须运用换“元”的技巧来改变“权函数” ，使之具备形如（4）式的“平权性”特征以遵从取元的“平权性原则”。
最常见的换“元”技巧有如下几种
1、“时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）；
2、“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；
3、“线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）；
4、“孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征）。 
参考资料来源：百度百科-微元法

2. 微元法求旋转体体积

微元法求旋转体体积具体概括为以下四步:1分割、2近似、3求和、4取极限。
该思想方法同样适用于定积分的应用----平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长(数学一、二)、旋转曲面的侧面积(数学一、二)等。

因此务必熟记以下3个公式:
(1)由连续曲线v=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体。该立体的体积公式为V=πf(x)dx
推广:若该曲边梯形绕y=y旋转一周而成的立体的体积公式为V=π[f(x)-]dx
(2)由连续曲线x=0(1)，直线y=a，y=b及y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体。
该立体的体积公式为V=πφ²(y)dy
推广:若该曲边梯形绕x=xo轴旋转一周而成的立体的体积公式为V=π[φ()-x]dy
(3)由连续曲线v=fx)，直线x=a，x=b及X轴所围曲边梯形绕v轴旋转一周而成的立体。该立体的体积公式为V=2π/xf(x)dx
推广:若该曲边梯形绕x=x轴旋转一周而成的立体的体积公式为V=2π∫|x-xolf()dx。
注:(2)、(3)均为绕y轴旋转体的计算方法，但是(2)适用于x=φ(y)的情况，即能够找到x关于y的解析式，(3)适用范围是找不到x=φ(1)的关系式，那么我们可以根据v=f(x)来列相应的体积公式。

3. 用微元法求（5）的旋转体体积

2，x²+y²=9，绕直线 x=-4，  如图所示：
图形绕直线 x=-4旋转一周得出旋转体的体积=700.14    表面积=470.85

4. 用微分求旋转体面积，问题在图中，大神来拿分吧，先到先得。在线等。

5. 求旋转面的面积，是怎么用微元法的，为什么会用到弧长啊？