点o是三角形ABC内任意一点,求证:AB+AC>Ob+OC.

1. 点o是三角形ABC内任意一点,求证:AB+AC>Ob+OC.

证明AB+BC>OB+OC 
  证：
  延长BO交AC于D 
  因为AB+AD>BD=OB+OD,
  即AB+AD>OB+OD,
  又因为OD+DC>OC 
  上述两不等式两边相加得：
  所以AB+AD+OD+DC>OC+OB+OD,
  消去OD得：AB+AD+DC>OC+OB 
  所以
  AB+AC>OB+OC

2. 在三角形abc中,若oa乘ob=ob乘oc=oc乘oa,那么点o在三角形abc什么位置.

都是向量来的吧!
  OA *OB=OB*OC 
  0＝OB*（OA-OC）＝OB*CA,OB⊥CA 同理 OA⊥BC OC⊥AB
  O是⊿ABC的垂心.
  请留意,由此可以得到三角形三个高交于一点的一个向量证明方法,楼主不妨试试.
  （即从OA⊥BC,OB⊥AC,推出OC⊥AB!）

3. 已知O是正三角形ABC内部一点， OA +2 OB +3 OC =

                   OA    +2            OB    +3            OC    =            0     ，变为             OA    +            OC    +2            OB    +2            OC    =            0     如图D，E分别是对应边的中点由平行四边形法则知             OA    +            OC    =2            OE    ，2            OB    +2            OC    =4            OD     故             OE    =2            OD     由于正三角形ABC故   S  △AOC  =    2    3      S  △ADC  =    2    3    ×     1    2    ×  S  △ABC   =     1    3      S  △ABC   又D，E是中点，故O到AB的距离是正三角形ABC高的一半所以   S  △AOB  =    1    2    ×  S  △ABC   ∴△OAC的面积与△OAB的面积之比为     2    3     故选B   

4. 已知点O在三角形ABC内部，且有OA+2OB+4OC=0,则三角形OAB与三角形OBC的面积之比为？（OA,OB,OC)是向量。

向量OA+2向量OB+4向量OC=0
向量OB=(-1/2)向量OA+(-2)向量OC
本题适用於所有合条件的A,B,C, 所以有个取巧的解法:
设 O=(0,0), 向量OA=(1,0), 向量OC=(0,1)
则 向量OB=(-1/2, -2).
三角形OAB面积=|OA|*2 /2 = 1
三角形OBC面积=|OC|*(1/2) /2 = 1/4
答案是1:4

5. 已知O为三角形ABC所在平面内一点，若OA *OB=OB*OC=OC*OA,则点O事三角形ABC的什么心?

OA *OB=OB*OC
0＝OB*（OA-OC）＝OB*CA,   OB⊥CA   同理 OA⊥BC   OC⊥AB
O是⊿ABC的垂心。
请留意，由此可以得到三角形三个高交于一点的一个向量证明方法，楼主不妨试试。
（即从OA⊥BC,OB⊥AC, 推出OC⊥AB!）

6. O为三角形ABC内一点,试证明AB+AC+BC大于OA+OB+OC

延长AO交BC于D，在△OBD和△ACD中，有OB<OD+DB，AD<CA+CD，所以
OA+OB<OA+OD+DB=AD+DB<CA+CD+DB=CA+BC，同理，得：OB+OC<AB+CA，OC+OA<BC+AB。【摘要】
O为三角形ABC内一点,试证明AB+AC+BC大于OA+OB+OC【提问】
延长AO交BC于D，在△OBD和△ACD中，有OB<OD+DB，AD<CA+CD，所以
OA+OB<OA+OD+DB=AD+DB<CA+CD+DB=CA+BC，同理，得：OB+OC<AB+CA，OC+OA<BC+AB。【回答】
三式相加得：2(OA+OB+OC)OA+OB+OC。【回答】

7. o为三角形abc内一点，请你说说ob+oc大于ab+ac

反了吧？应该是ab+ac大于ob+oc
解：
证明：延长BO，交AC于点D
由“三角形两边之差小于第三边”，可得
BD-AB＜AD
OC-OD＜CD
∵BD=OB+OD
∴OB+OD-AB＜AD
OC-OD＜CD
以上两式相加，得
OB-AB+OC＜AD+CD
∴OB+OC-AB＜AC，即AB+AC＞OB+OC

8. O为三角形ABC中一点,OA*OB*OC=0,OA*OB=OC*OA,则三角形ABC是什么三角形？

OA＋OB＋OC=0，则点O为三角形ABC的重心，又OA*OB=OC*OA，OA*(OB－OC)=0，即OA*BC=0，即此点O为三角形ABC的高线上一点，则三角形的重心在一边的高线上，所以，此三角形为等腰三角线。