协方差的性质是什么?
2024-04-27 17:29
1. 协方差的性质是什么?
定义1：变量xk和xl如果均取n个样本，则它们的协方差定义为 ，这里 分别表示两变量系列的平均值。协方差可记为两个变量距平向量的内积，它反映两气象要素异常关系的平均状况。定义2：度量两个随机变量协同变化程度的方差。 协方差 协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。 协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。 性质 若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。 协方差与方差之间有如下关系： D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y) 协方差与期望值有如下关系： Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 协方差的性质： （1）Cov(X，Y)=Cov(Y，X) （2）Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，（a，b是常数） （3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)
2. 协方差的意义
什么是协方差，为什么有些地方会用到协方差。
核心意义：度量各个维度偏离其均值的程度。协方差的值如果为正值，则说明两者是正相关的(从协方差可以引出“相关系数”的定义)，结果为负值就说明负相关的，如果为0，也是就是统计上说的“相互独立”。
正相关和负相关的直观理解：
特点：当 X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出，大致上有： X 越大 Y 也越大， X 越小 Y 也越小，这种情况，我们称为“正相关”。
特点：当X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出，大致上有：X 越大Y 反而越小，X 越小 Y 反而越大，这种情况，我们称为“负相关”。
特点：当X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出：既不是X 越大Y 也越大，也不是 X 越大 Y 反而越小，这种情况我们称为“不相关”。
怎样将这3种相关情况，用一个简单的数字表达出来呢？
在图中的区域（1）中，有 X>EX ，Y-EY>0 ，所以(X-EX)(Y-EY)>0；
在图中的区域（2）中，有 X0 ，所以(X-EX)(Y-EY)<0；
在图中的区域（3）中，有 X0；
在图中的区域（4）中，有 X>EX ，Y-EY<0 ，所以(X-EX)(Y-EY)<0。
重点解释：所谓正相关。只是说某种分布主要覆盖区域（1）与区域（3），例如99.7%数据是这种特性，极少数据覆盖区域（2）与区域（4）
同理，所谓负相关，应该是某种分布主要覆盖（2）、（4），极小部分覆盖（1）、（3）。
所谓不相关，等于（1）（2）（3）（4）分布都差不多。
数值绝对值大小，应该表示这种相关性的强烈程度。
从公式上看：
上图是方差的公式，用以度量各个维度偏离其均值的程度。
协方差公式由方差的公式推广而来，用于描述维度之间的线性相关性。
从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质，如：
具体如何计算？
例如有如下数据：
每一列表示一个维度，每一行表示一个样本。
如何计算协方差？当然，我们有api，如果不使用api，是否能自己写？我们按照公式，写了如下测试程序：
计算出维度之间的协方差，我们就可以组织协方差矩阵。协方差矩阵可以快速定位维度之间的协方差。
上述解释详见下面文章：
＃ 终于明白协方差的意义了
3. 协方差是什么意思？
协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。 协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。 扩展资料 协方差函数 在概率论和统计学中，协方差是一种两个变量如何相关变化的度量，而协方差函数或核函数，描述一个随机过程或随机场中的空间上的协方差。对于一个随机场或随机过程Z(x)在定义域D，一个协方差函数C(x,y)给出在两个点x和y的值的协方差： C(x,y)在两种情况下称为自协方差函数:在时间序列(概念一致，除了x和y指时间点而不是空间点)，以及在多变量随机场（指变量自己的协方差，而不是互协方差）。 参考资料来源：百度百科-协方差
4. 协方差是什么意思？
协方差的计算公式为cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]，这里的E[X]代表变量X的期望。 从直观上来看，协方差表示的是两个变量总体误差的期望。如果其中一个大于自身的期望值时另外一个也大于自身的期望值，两个变量之间的协方差就是正值。 如果其中一个变量大于自身的期望值时另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。如果X与Y是统计独立的，那么二者之间的协方差就是0，因为两个独立的随机变量满足E[XY]=E[X]E[Y]。 协方差的特点 协方差差出了一万倍，只能从两个协方差都是正数判断出两种情况下X、Y都是同向变化，但是，一点也看不出两种情况下X、Y的变化都具有相似性这一特点。 相关系数是协方差除以标准差，当X,Y的波动幅度变大的时候，协方差变大，标准差也会变大，相关系数的分母都变大，其实变化的趋势是可以抵消的，协方差的取值范围是 正无穷到负无穷，相关系数则是+1 到-1之间。
5. 方差与协方差的含义是什么？
组间和组内和的离差平方和与自由度的比值。 SPSS提供了从简单的统计描述到复杂的多因素统计分析方法，比如数据的方差分析、探索性分析、统计描述、列联表分析、二维相关、秩相关、偏相关、非参数检验、多元回归、生存分析、协方差分析、判别分析、因子分析、聚类分析、非线性回归、Logistic回归等。 研究者可以在模块中轻松的实现从抽样设计、统计描述到复杂统计建模以发现影响因素的整个分析过程，方差分析模型、线形回归模型、Logistic回归模型等复杂的统计模型都可以加以使用，而操作方式将会和完全随机抽样数据的分析操作没有什么差别。 扩展资料 方差分析独立模块-AMOS AMOS 是SPSS Statistics软件包中的独立产品，是功能强大的结构方程（SEM） 建模工具，通过对包括回归、因子分析、相关性分析和方差分析等传统多元分析方法的扩展，为理论研究提供更多的支持。 在AMOS 环境下，您可以在直观的路径图下指定、估计、评估以及设定模型，以展示假定的各变量之间的关系，来方便地地建立能真实反应复杂关系的行为态度模型。在AMOS 中，任何数值变量，不管是可观测的还是潜在的，都可以用来建模，预测其它数值变量。
6. 协方差的定义式是什么？
定义 E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差,记作COV(X,Y),即COV(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。注意 E[(X-E(X))(Y-E(Y))]= E(XY)-E(X)E(Y) 。 一：举例 （1）Xi 1.1 1.9 3 Yi 5.0 10.4 14.6 E(X) = (1.1+1.9+3)/3=2 E(Y) = (5.0+10.4+14.6)/3=10 E(XY)=(1.1×5.0+1.9×10.4+3×14.6)/3=23.02 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=23.02-2×10=3.02。 二：（1）协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 （2） 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。 （3）如果X与Y是统计独立的，那么二者之间的协方差就是0，因为两个独立的随机变量满足E[XY]=E[X]E[Y]。 （4）反过来并不成立。即如果X与Y的协方差为0，二者并不一定是统计独立的。 （5）协方差Cov(X,Y)的度量单位是X的协方差乘以Y的协方差。而取决于协方差的相关性，是一个衡量线性独立的无量纲的数。协方差为0的两个随机变量称为是不相关的。 三：性质 若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。协方差与方差之间有如下关系D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y) 协方差与期望值有如下关系： Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。
7. 协方差分析
前两篇文章，我们对双因素方差分析以及事后比较做了较为详细的说明。与一般的单因素方差分析相比，双因素甚至多因素方差分析，更多的被用在实验研究中。
在实验研究里，还需要更多的考虑潜在的 干扰因素 ，比如“减肥方式”对于“减肥效果”的影响，年龄很可能是影响因素；同样的减肥方式，但不同年龄的群体，减肥效果却不一样；年龄就属于干扰项，因此在分析的时候需要把它纳入到考虑范畴中。如果方差分析时需要考虑干扰项，此时就称之为协方差分析，而干扰项也称着“ 协变量 ”。
（1）协方差分析中，X是定类数据，Y是定量数据；协变量通常为 定量数据 ；如果协变量是定类数据，可考虑将其纳入X即自变量中，或者将协变量做虚拟变量处理。
（2）平行性检验：协方差分析有一个重要的假设即“平行性检验”。“平行性”是指：自变量X与协变量对于因变量Y的影响时，自变量X与协变量之间保持独立性。
如果交互项（即有*号项）的P值>0.05则说明平行，满足“平行性检验”，可进行后续分析。如果协方差分析不满足“平行性”条件，则应该将协变量项移出。
1 背景
某研究者测试新药对于胆固醇水平是否有疗效；研究者共招募72名被试，分为A和B共两组，每组分别是36名，A组使用新药，B组使用普通药物；在实验前先测试72名被试的胆固醇水平，以及在实验3月之后再次测定胆固醇水平。
本例中X为不同的药物种类，Y为实验后测定的胆固醇水平值。X为定类数据，Y为定量数据，并且存在一个干扰项即实验前的胆固醇水平（定量数据），因此需要进行协方差分析。
2 操作
本例子中研究1个X对于Y的差异，并且有协变量；X为药物， Y为“胆固醇水平3月后”，协变量为“胆固醇水平实验前”。
（1）第1步，进行平行性检验
放置如下，同时勾选“平行性检验”，点击开始协方差分析。
上表为平行性检验结果，此时只关注 交互项的显著性 即可。表中“药物*胆固醇水平实验前”为自变量X与协变量的交互项，通过分析可知，数据通过平行性检验（F=0.003,P=0.0.694>0.05）,满足协方差分析前提假设，因而说明可继续进行协方差分析。
（2）第2步，已经满足了平行性检验，接着进行协方差分析
返回分析界面，这次注意不要勾选“平行性检验”，点击开始协方差分析。
3 结果 分析
上表为协方差分析结果，上表中R平方值为0.081，意味着药物解释胆固醇水平的8.1%变异。研究重点在于药物对于胆固醇水平的帮助，在这里药物呈现出0.05水平的显著性（F=6.045,P=0.016<0.05），意味着普通药物和新药的两组群体在胆固醇水平上有着显著性差异。
通过上表可知，新药使用B组群体整体胆固醇水平均值为4.991，小于普通药物组别的5.267，即说明新药对于胆固醇水平的帮助性明显更好。
协变量为干扰项，但并非核心研究项；因此通常情况下只需要将其纳入模型中即可，并不需要过多的分析。
协变量的个数不定，但一般情况下会很少，比如为1个，2个。如果放入过多的协变量，反而会出现‘主次不分’，因此在进行协方差分析时，需要相对谨慎的放入干扰项（即协变量）。
8. 协方差分析
在我们的研究过程中经常会出现除了关注的自变量和因变量，还有一些其他的因素也会影响因变量，但我们又不想考虑他们，这个时候就需要借助协方差分析了。比如，想研究不同教学方法的作用，那么自变量是教学方法，因变量是学生的成绩，但是我们知道学生最初的水平也对最后的成绩有影响，所以为了更好研究教学方法，我们需要采用统计的方法对学生原本的水平进行控制。
因素（自变量）：二分或分类变量 协变量：连续的等距或等比数据，且数据无界 因变量：连续的等距或等比数据，且数据无界
结果变量的每个值都应该是独立的
在每个组内，结果变量应该近似服从正态分布。可用 直方图 目测，用统计方法： 正态性统计检验方法（如K-S统计检验）
每个组的方差应该是近似的。统计检验： Levene统计量，若不显著，则齐性
（1）也就是协变量在自变量的不同水平之间是无差异的 （2）SPSS操作：独立样本t检验（或方差分析） 具体过程与结果见假设4
（1）线性关系可以用散点图来检验
（2） 检验各组的回归系数之间是否有差异。在此需要作 自变量和协变量的交互作用分析 ，且只看自变量和协变量之间的交互作用是否显著， 如果不显著表明协变量和因变量之间的关系不会因自变量各处理水平的不同而有所差异，即因变量对协变量的回归斜率相等 ，满足协方差分析条件；显著则不可进行。
在协方差分析中，协变量的作用是用于控制实验中我们不想关注但却会对因变量产生影响的变量，而且要求协变量与自变量之间没有交互作用。 但是值得关注的是，有一种特殊情况，也就是 协变量与自变量之间本身就相关，且协变量是连续变量时， 这种一个情况下， 协变量不再是用于被控制掉的变量，而是也变成自变量来作分析 。
最新文章
热门文章
推荐阅读