验证勾股定理的方法

1. 验证勾股定理的方法

伽菲尔德证明勾股定理的故事　　 1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使,伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干什么?那个小男孩头也不抬地说：“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答道：“是5呀.”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心里很不是滋味.,伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他出的难题.他经过反复思考与演算,终于弄清了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.
　　如下:
在网格内,以两个直角边为边长的小正方形面积和,等于以斜边为边长的的正方形面积.
　　勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,
　　a^2+b^2=c^2
　　说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”,较长直角边为“股”,斜边称为“弦”,所以把这个定理成为“勾股定理”.勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系.
　　举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4,则斜边c^2= a^2+b^2=9+16=25即c=5
　　则说明斜边为5.
　　勾股定理的种证明方法（部分）
　　【证法1】（梅文鼎证明）
　　做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.
　　∵ D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
　　∴ ∠EGF = ∠BED,
　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
　　又∵ AB = BE = EG = GA = c,
　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
　　∴ ∠ABC = ∠EBD.
　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 
　　即 ∠CBD= 90°
　　又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,
　　BC = BD = a.
　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
　　同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
　　设多边形GHCBE的面积为S,则
　　,
　　∴ .
　　【证法2】（项明达证明）
　　做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
　　过点Q作QP∥BC,交AC于点P.
　　过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点
　　F作FN⊥PQ,垂足为N.
　　∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC,
　　∴ ∠MPC = 90°,
　　∵ BM⊥PQ,
　　∴ ∠BMP = 90°,
　　∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°.
　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °,
　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,
　　∴ ∠QBM = ∠ABC,
　　又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,
　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
　　【证法3】（赵浩杰证明）
　　做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.
　　分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
　　∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
　　∴FI=a,
　　∴G,I,J在同一直线上,
　　∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
　　∠CJB = ∠CFD = 90°,
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
　　同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
　　∴∠ABG = ∠BCJ,
　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
　　∵∠ABC= 90°,
　　∴G,B,I,J在同一直线上,
　　【证法4】（欧几里得证明）
　　做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
　　BF、CD.过C作CL⊥DE,
　　交AB于点M,交DE于点L.
　　∵ AF = AC,AB = AD,
　　∠FAB = ∠GAD,
　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
　　∵ ΔFAB的面积等于,
　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM
　　的面积的一半,
　　∴ 矩形ADLM的面积 =.
　　同理可证,矩形MLEB的面积 =.
　　∵ 正方形ADEB的面积 
　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
　　∴ ,即 a^2+b^2=c^2

2. 勾股定理所有验证方法

[编辑本段]伽菲尔德证明勾股定理的故事　　     1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
　　如下:
　　解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的的正方形面积。
　　勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，
　　a^2+b^2=c^2
　　说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。
　　举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c^2= a^2+b^2=9+16=25即c=5
　　则说明斜边为5。 
　　勾股定理的种证明方法（部分）
　　【证法1】（梅文鼎证明）
　　做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. 
　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
　　∴ ∠EGF = ∠BED，
　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，
　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形. 
　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
　　∴ ∠ABC = ∠EBD.
　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 
　　即 ∠CBD= 90°
　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
　　BC = BD = a.
　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
　　设多边形GHCBE的面积为S，则
　　,
　　∴ .
　　【证法2】（项明达证明）
　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 
　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
　　F作FN⊥PQ，垂足为N. 
　　∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，
　　∴ ∠MPC = 90°，
　　∵ BM⊥PQ，
　　∴ ∠BMP = 90°，
　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.
　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，
　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
　　∴ ∠QBM = ∠ABC，
　　又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
　　【证法3】（赵浩杰证明）
　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
　　∴FI=a，
　　∴G,I,J在同一直线上，
　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
　　∠CJB = ∠CFD = 90°，
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，
　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
　　∴∠ABG = ∠BCJ,
　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
　　∵∠ABC= 90°,
　　∴G,B,I,J在同一直线上，
　　【证法4】（欧几里得证明）
　　做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
　　BF、CD. 过C作CL⊥DE，
　　交AB于点M，交DE于点L. 
　　∵ AF = AC，AB = AD，
　　∠FAB = ∠GAD，
　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
　　∵ ΔFAB的面积等于，
　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM
　　的面积的一半，
　　∴ 矩形ADLM的面积 =.
　　同理可证，矩形MLEB的面积 =.
　　∵ 正方形ADEB的面积 
　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
　　∴ ，即 a^2+b^2=c^2

3. 勾股定理的验证方法

勾股定理的验证方法如下：
在这数百种证明方法中,有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常著名.首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明,据说分别来源于中国和希腊.1．中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形,如图,其中a、b为直角边,c为斜边.这两个正方形全等,故面积相等.

左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形,左右四个三角形面积之和必相等.从左右两图中都把四个三角形去掉,图形剩下部分的面积必相等.左图剩下两个正方形,分别以a、b为边.右图剩下以c为边的正方形.于是a^2+b^2=c^2.这就是我们几何教科书中所介绍的方法.既直观又简单,任何人都看得懂.2．希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形。容易看出,△ABA’ ≌△AA'C .过C向A’’B’’引垂线,交AB于C’,交A’’B’’于C’’.△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半,△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高,前者的面积也是后者的一半.由△ABA’≌△AA’’C,知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积.同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积.于是, S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC,

即 a2+b2=c2.至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半,则可用割补法得到（请读者自己证明）.这里只用到简单的面积关系,不涉及三角形和矩形的面积公式.这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法.以上两个证明方法之所以精彩,是它们所用到的定理少,都只用到面积的两个基本观念。

4. 验证勾股定理的方法

验证勾股定理的方法如下：1、以ab为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2分之一ab。AEB三点在一条直线上，BFC三点在一条直线上，CGD三点在一条直线上。证明四边形EFGH是一个边长为c的正方形后即可推出勾股定理。2、勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中偏小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

5. 验证勾股定理的方法

验证勾股定理的方法如下：1、以ab为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2分之一ab。AEB三点在一条直线上，BFC三点在一条直线上，CGD三点在一条直线上。证明四边形EFGH是一个边长为c的正方形后即可推出勾股定理。2、勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中偏小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

6. 勾股定理验证方法

7. 所有验证勾股定理的方法

作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.
　　∵ D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，
　　∴ ∠EGF = ∠BED，
　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，
　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，
　　∴ ∠ABC = ∠EBD.
　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
　　即 ∠CBD= 90°
　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
　　BC = BD = a.
　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
　　设多边形GHCBE的面积为S，则
　　A2+B2=C2

8. 勾股定理的其它验证方法

方向是：用三角形ABD和三角形FBC，三角形BCK和三角形ACE全等证明的·（边角边）
设AB=a BC=c AC=b
三角形BFC的面积就为ABFG的面积加上三角形ABC面积减去三角形FGC
即·0.5ab+a^2-0.5a(a+b)=0.5a^2
同理·三角形BCK的面积为
   0.5ab+b^2-0.5b(a+b)=0.5b^2
然后···三角形ADE的面积就是
c^2+0.5ab-0.5a^2-0.5b^2=0.5|DE||AL|=0.5c[c+(0.5ab)/c]化简等式可得a^2+b^2=c^2