概率和数理统计的公式汇总资料

1. 概率和数理统计的公式汇总资料

概率论与数理统计复习提纲
一，事件的运算
    如果A，B，C为三事件，则A+B+C为至少一次发生, ABC为同时发生,
AB+BC+AC为至少两次发生, 为恰有两次发生.
为恰有一次发生, 等等, 要善于将语言翻译成事件运算公式以及将公式翻译成语言..
如果A,B为对立事件, 则 , 因此 ,

二, 加法法则
如A与B互不相容, 则P(A+B)=P(A)+P(B)
而对于任给的A与B有
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)                                            (1)
因此, P(A+B),P(A),P(B),P(AB)这四个概率只要知道三个,剩下一个就能够求出来.
因 将B分解为AB与 两个互不相容事件,
则
            (2)
将这两个式子分别代入到(1)式, 可以得

因此P(A+B),P(A)及 这三个概率只要知道两个, 剩下那个就能求出来, 同样, P(A+B),P(B)及 只要知道两个,剩下那个就能求出来.例如, 在已知P(A+B),
A与B只有一件发生的概率为

由(2)式可知

因此A与B只有一件发生的概率为

三, 全概率公式和贝叶斯公式
       设A1,A2,…,构成完备事件组, 则任给事件B有
        (全概率公式),
及
       (贝叶斯公式)
       其中, 最常用的完备事件组, 就是一个事件A与它的逆 , 即任给事件A,B有


       通常是将试验想象为分为两步做, 第一步的结果将导致A或者 之一发生, 而这将影响到第二步的结果的事件B是否发生的概率. 如果是已知第一步的各事件概率及第一步各事件发生条件下第二步事件B发生的概率, 并要求B发生的概率, 就用全概率公式. 而如果是要求在第二步事件B已经发生条件下第一步各事件的概率, 就用贝叶斯公式.
四, 随机变量及分布
   1. 离散型随机变量
       一元: P(ξ=xk)=pk (k=1,2,…),
二元: P{ξ=xk, η=yj)=pij      (i,j=1,2,…)
边缘分布与联合分布的关系:

要注意二元随机变量的函数的计算中, 要合并计算后的值有重合的情况.
2. 连续型随机变量
, , 性质:
分布函数为 , 且有
如ξ~φ(x), η=f(ξ), 则求η的概率密度函数的办法, 是先求η的分布函数Fη(x),
,
然后对Fη(x)求导即得η的概率密度函数.
五, 随机变量的数字特征
       数学期望:
       离散型:
       连续型:
       方差:
       离散型: 先计算 , 则
       连续型: 先计算 则
六, 几种常用的分布
       二项分布
       ξ~B(n,p)是指 .
       它描述了贝努里独立试验概型中, 事件A发生k次的概率. 试验可以同时进行, 也可以依次进行.
       均匀分布
       ξ服从[a,b]上的均匀分布, 是指

       如ξ服从[0,1]上的均匀分布, η=kξ+c, 则η服从[c, k+c]上的均匀分布.
七, 无偏估计
   对参数 的估计 是无偏估计, 是指 , 一般来讲, 是Eξ的无偏估计, 而S2是Dξ的无偏估计. 但是, 在 是 的无偏估计时, 不能肯定f( )是f( )的无偏估计, 须另作分析.
八, 最大似然估计
    对于n个样本值x1,x2,…,xn
       如总体ξ为连续型随机变量, ξ~φ(x;θ), 则似然函数

而如总体ξ为离散型随机变量, P(ξ=xi)=p(xi;θ), 则似然函数

       则解似然方程
       解得θ的最大似然估计值
九, 区间估计
       在正态总体下, 即总体ξ~N(μ,σ2)时,
如果σ2为已知, 则 , 则在给定检验水平α时, 查正态分布表求uα使 , 则置信度为1-α的置信区间为
如果σ2为未知, 则 , 其中S为样本方差的开平方(或者说测得的标准差. 查t-分布表求tα使 , 则置信度为1-α的置信区间为 .
十, 假设检验
       在正态总体下，即总体ξ~N(μ,σ2)时,
       在σ2为已知条件下, 检验假设H0: μ=μ0, 选取统计量 , 则在H0成立的条件下U~N(0,1), 对于给定的检验水平α, 查正态分布表确定临界值uα, 使 , 根据样本观察值计算统计量U的值u与uα比较, 如|u|>uα则否定H0, 否则接收H0.
       如σ2为未知, 则选取统计量 , 在H0假设成立时T~t(n-1), 对于给定的检验水平α和样本容量n, 查t-分布表确定临界值tα使P(|T|>tα)=α, 根据样本观察值计算统计量T的值t与tα比较, 如|t|>tα则否定H0, 否则接收H0.
       如果是大样本情况下，t-分布接近标准正态分布，因此又可以查正态分布表。这时，认为样式本方差可以作为精确的方差使用。
需要重点练习的习题和例题：
p5: 例2. p6: 例3. p226: 1,2. p27: 20. p59: 36,37. p99: 1. p28: 27,28,30. p56: 16,19. p57: 22,23. p59: 33,34. p76: 14,15. p164: 2,4. p165: 8,11. p184: 1,2. p235: 58,60.

2. 概率论与数理统计 这个怎么算

第二栏的等式是基础公式。课本有。

3. 概率论与数理统计这两步是如何计算出来的 如图

如图

4. 概率与数理统计相关计算

5. 概率论与数理统计的公式及定义总结

概率论与数理统计是考研数学重要组成部分。概率论与数理统计非常强调对基本概念、定理、公式的深入理解。重要基本知识要点如下：

　　一、考点分析

　　1.随机事件和概率，包括样本空间与随机事件；概率的定义与性质（含古典概型、几何概型、加法公式）；条件概率与概率的乘法公式；事件之间的关系与运算（含事件的独立性）；全概公式与贝叶斯公式；伯努利概型。

　　2.随机变量及其概率分布，包括随机变量的概念及分类；离散型随机变量概率分布及其性质；连续型随机变量概率密度及其性质；随机变量分布函数及其性质；常见分布；随机变量函数的分布。

　　3.二维随机变量及其概率分布，包括多维随机变量的概念及分类；二维离散型随机变量联合概率分布及其性质；二维连续型随机变量联合概率密度及其性质；二维随机变量联合分布函数及其性质；二维随机变量的边缘分布和条件分布；随机变量的独立性；两个随机变量的简单函数的分布。

　　4.随机变量的数字特征，随机变量的数字期望的概念与性质；随机变量的方差的概念与性质；常见分布的数字期望与方差；随机变量矩、协方差和相关系数。

　　5.大数定律和中心极限定理，以及切比雪夫不等式。

　　6.数理统计基本概念，包括总体与样本；样本函数与统计量；样本分布函数和样本矩。

　　7.参数估计，包括点估计；估计量的优良性；区间估计。

　　8.假设检验，包括假设检验的基本概念；单正态总体和双正态总体的均值和方差的假设检验。

　　二、解题思路

　　1.如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。

　　2.若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式。

　　3.若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组。

　　4.若题设中给出随机变量X~N则马上联想到标准化~N（0，1）来处理有关问题。

　　5.求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。

　　6.欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g（X）或（Y≤g（X））的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g（X）或（Y≤g（X））的区域的公共部分。

　　7.涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作（0－1）分解。即令

　　8.凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率（或已知概率求随机变量个数）的问题，马上联想到用中心极限定理处理。

　　9.若为总体X的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量的分布问题，一般联想到用分布，t分布和F分布的定义进行讨论。

6. 概率论与数理统计的公式及定义总结

概率论与数理统计是考研数学重要组成部分。概率论与数理统计非常强调对基本概念、定理、公式的深入理解。重要基本知识要点如下：
一、考点分析
1.随机事件和概率，包括样本空间与随机事件；概率的定义与性质（含古典概型、几何概型、加法公式）；条件概率与概率的乘法公式；事件之间的关系与运算（含事件的独立性）；全概公式与贝叶斯公式；伯努利概型。
2.随机变量及其概率分布，包括随机变量的概念及分类；离散型随机变量概率分布及其性质；连续型随机变量概率密度及其性质；随机变量分布函数及其性质；常见分布；随机变量函数的分布。
3.二维随机变量及其概率分布，包括多维随机变量的概念及分类；二维离散型随机变量联合概率分布及其性质；二维连续型随机变量联合概率密度及其性质；二维随机变量联合分布函数及其性质；二维随机变量的边缘分布和条件分布；随机变量的独立性；两个随机变量的简单函数的分布。
4.随机变量的数字特征，随机变量的数字期望的概念与性质；随机变量的方差的概念与性质；常见分布的数字期望与方差；随机变量矩、协方差和相关系数。
5.大数定律和中心极限定理，以及切比雪夫不等式。
6.数理统计基本概念，包括总体与样本；样本函数与统计量；样本分布函数和样本矩。
7.参数估计，包括点估计；估计量的优良性；区间估计。
8.假设检验，包括假设检验的基本概念；单正态总体和双正态总体的均值和方差的假设检验。
二、解题思路
1.如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。
2.若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式。
3.若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组。
4.若题设中给出随机变量X~N则马上联想到标准化~N（0，1）来处理有关问题。
5.求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。
6.欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g（X）或（Y≤g（X））的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g（X）或（Y≤g（X））的区域的公共部分。
7.涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作（0－1）分解。即令
8.凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率（或已知概率求随机变量个数）的问题，马上联想到用中心极限定理处理。

7. 求解有关概率与数理统计

8. 概率论与数理统计公式是什么？

概率论与数理统计公式是如下这些：
1.对于任意一个事件A：P(A)=1-P(非A)。
2.当事件A，B满足A包含于B时：P(BnA)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B)。
3.对于任意一个事件A，P(A)≤1。
4.对任意两个事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB)。
5.（加法公式）对任意两个事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
《概率论与数理统计》是高等院校理工类、经管类的重要课程之一。在考研数学中的比重大约占22%左右（数一、数三）。

学习数学的方法
1、学数学最重要的就是解题能力。要想会做数学题目，就要有大量的练习积累，知道各类型题目的解题步骤与方法，题目做多了就有手感了，再拿出类似的题目才会有解题思路。

2、其次是学会预习。解题思路不是直接就有的，也并非通过做几道简单的题目就能轻易获得，而是在预习过程中不断积累出来的。因此，预习在数学学习过程中起到了非常重要的作用。预习一方面能够让大家提前对数学知识有所了解，另一方面能够培养数学独立学习能力。

3、学数学必须多做题。理解了数学基本定义和知识点以后，就需要通过做对应习题去巩固知识，多做多练才能更好地掌握所学知识，学数学也是看花容易绣花难的，只有真正动手去做题、经历了实操过程能学会。

4、做完题要学会总结。对于做过的题型及做错的题目要善于进行分类总结，再遇到类似的题目要会分析，知道哪里容易出现问题，然后尽量去避免。同时在做题和总结过程中，要学会举一反三，抓住考点去复习。

5、学数学要会看书和查缺补漏。数学基础考点都来源于课本，大家之所以觉得书没什么可看，是因为对教材掌握程度不够。书上的每个定义都要理解后倒背如流，深究每个词语的含义，做懂每个例题，会推导数学公式及变形公式。