数学竞赛
2024-05-10 20:36
1. 数学竞赛
选择题专题
方程(组)、不等式(组)、函数
1、方程x2 = 2x的解是( ) A、x=2 B、x1=，x2= 0 C、x1=2，x2=0 D、x = 0
2、一元二次方程的根为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、一元二次方程的根为（ ）A、x=1 B、x=-1 C、， D、
4、已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数m2－m的值等于（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
5、下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、关于x的一元二次方程x2－x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．m＜1 B． m＜－1 C．m≤1 D．m＞1
7、关于x的方程有实数根，则K的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
8、若关于的方程有增根，则的值是( )A．3 B．2 C．1 D．-1
9、学校计划将120名学生平均分成若干个读书小组，若每个小组比原计划多1人，则要比原计划少分出6个小组，那么原计划要分成的小组数是( ) A、40 B、30 C、24 D、20
10、如图，宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为( ) A. 400 cm2 B. 500 cm2 C. 600 cm2 D. 4000 cm2
11、某超市进了一批商品，每件进价为a元，若要获利25%，
则每件商品的零售价应定为（ ）
A、 B、 C、 D、
12、一件商品按成本价提高40％后标价，再打8折（标价的80％）销售，售价为240元，设这件商品 的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A.x·40％×80％＝240 B. x（1＋40％）×80％＝240
C. 240×40％×80％＝x D. x·40％＝240×80％
13、S型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是( )
A.1500 (1+x)2=980 B.980(1+x)2=1500 C.1500 (1－x)2=980 D.980(1－x)2=1500
14、某施工队挖掘一条长96米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖米，则依题意列出正确的方程为( )
A、; B、; C、; D、
15、不等式2－x1 B.x>-1 C.x<1 D.x<-1
16、不等式2x>3－x的解集是( ) A、x>3 B、x1 D、x<1
17、如果关于x的不等式 (a+1) x>a+1的解集为x<1，那么a的取值范围是( )
A. a>0 B. a-1 D. a<-1
18、不等式组的正整数解的个数是( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19、不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A． B． C． D．
20、不等式组的解集在数轴上可以表示为（ ）
（A） （B） （C） （D）
21、图2是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
22、函数中自变量的取值范围是（ ）A、＞3 B、≥3 C、＞－3 D、≥－3
23、函数y=的自变量x的取值范围是( )A．x≠0 B．x＞1 C．x≥1 D．x＞0
24、函数y＝ 的自变量x的取值范围是（ ）A、x≥1且x≠2 B、x≠2 C、x＞1且x≠2 D、全体实数
25、如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，则
图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是( )
A、x＜－1 B、x＞2 C、－1＜x＜0，或x＞2 D、x＜－1，或0＜x＜2
26、用一水管向图中容器内持续注水，若单位时间内注入的水量
保持不变，则在注满容器的过程中，容器内水面升高的速度( )
A、保持不变 B、越来越慢 C、越来越快 D、快慢交替变化
27、将直线向上平移两个单位，所得的直线是（ ）
A． B． C． D．
28、一次函数y=x+1的图象在（ ） A、第一、二、三象限
B、第一、三、四象限 C、第一、二、四象限 D、第二、三、四象限
29、如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10、P2A20、P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则( )．
A、S1<S2<S3 B、S2<S1<S3 C、S1<S3<S2 D、S1=S2=S3
30、若双曲线经过点A（m，－2m），则m的值为（ ）
A、 B、3 C、 D、
31、函数y=（k≠0）的图象过点（2，-2），则此函数的图象在平面直角坐标系中的
A、第一、三象限 B、第三、四象限 C、第一、二象限 D、第二、四象限
32、 点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．() B．(－) C．(－,） D．(－,-)
33、点A（，）在第三象限，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
34、若a>0，则点P(-a，2)应在( )A.第—象限内 B.第二象限内 C.第三象限内 D.第四象限内
35、下列函数中，一次函数是（ ）.
A、 B、 C、 D、
36、反比例函数y= (k>0)在第一象限内的图象如图，点M是图象上
一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是( )
A) 1 (B) 2 (C) 4 (D)
37、在直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，1)，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有( ) A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
38、函数与函数的图象在同一平面直角坐标系内的
交点个数是（ ）A、一个 B、二个 C、三个 D、零个
39、如图2，点A关于y轴的对称点坐标是( )
A、（3，3） B、（－3，3） C、（3，－3）D、（－3，－3）
40、在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）
A、（2，1） B、（2，－1） C、（－2，1） D、（－2，－1）
41、（1，3）关于原点过对称的点的坐标是（ ）.
（A）（-1，3） （B）（-1，-3） （C）（1，-3） （D）（3，1）
42、一次函数y＝kx＋b 满足kb＞0�且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限43、如果反比例函数的图象经过点（，），那么的值是（ ）
A． B． C． D．
44、现往一塑料圆柱形杯子(重量忽略不计)中匀速注水，已知10秒钟能注满杯子，之后注入的水会溢出，下列四个图象中，能反映从注水开始，15秒内注水时间t与杯底压强P的图象是( )
45、已知点A（2，0）、点B（－，0）、点C（0，1），以A、B、C三点为顶点画平行四边形．则第四个顶点不可能在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
46、一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y(cm)与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（ ）
47、如图，直线与双曲线的图象的
一个交点坐标为（2，4）．则它们的另一个交点坐标是( )
A．（－2，－4）B．（－2，4）C．（－4，－2）D．（2，－4）
48、函数是（ ）
A、一次函数 B、二次函数 C、正比例函数 D、反比例函数
49、二次函数y=(x-1)2+2的最小值是（ ）A、-2 B、2 C、-1 D、1
50、抛物线的对称轴是( )
A．x＝－2 B．x＝4 C．x＝2 D．x＝－4
51、抛物线的对称轴是（ ）A、x=－1 B、x=1 C、x=－2 D、x=2
52、抛物线的顶点坐标是（ ）
A、（－2，3） B、（2，3） C、（－2，－3） D、（2，－3）
53、二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ）
A、 B、 C、 D、
54、若二次函数，当x取，（≠）时，函数值相等，则当x取+时，函数值为（ ） A、a＋c B、a－c C、－c D、c
2. 数学竞赛
无图啊，-----M------ E----D---C---B---A---0-----------> 这样的图吗 两个整数点靠原点第一个整数点是 A=m/7,B=2m/7,C=3m/7,D=4m/7,E=5m/7,F=6m/7 A是整数则BCDEF全整数 矛盾 B是整数则DF全整数 矛盾 C是整数则F为整数 3m/7 6m/7为整数,其他不是整数 第二个整数点是D 4m/7-3m/7为整数 m/7=A为整数，矛盾 第二个整数点是E 5m/7-3m/7为整数 2m/7=B为整数，矛盾 D是整数 第二个整数点是E 5m/7-4m/7为整数 m/7=A为整数，矛盾 第二个整数点是F 6m/7-4m/7为整数 2m/7=B为整数，矛盾 E是整数 第二个整数点是F 6m/7-5m/7为整数 m/7=A为整数，矛盾 综上所述只有C,F为整数点 C=3m/7分别取值 C=-1时 m=-7/3 C=-2时 m=-14/3 C=-3时 m=-7 （舍去，有其他点为整数） C=-4时 m=-28/3 C=-5时 m=-35/3 与m>-10矛盾 C<-5以后一样 m可以取的不同值有（ 3）个，m的最小值是（ -28/3 ).
3. 数学竞赛
解答： 由XY=XZ+3得3=X(Y-Z); 而X,Y,Z都是正整数，所以必有X=1,Y-Z=3或X=3,Y-Z=1; 当X=1，Y-Z=3时，由YZ=XY+XZ-7得，Z（Z+3）=2Z-4，即Z^2+Z+4=0，这样的正整数Z不存在；当X=3,Y-Z=1时，由YZ=XY+XZ-7得，Z（Z+1）=6Z-4，即Z^2-5Z+4，解得Z1=1,Z2=4; 当Z=1时，Y=2；当Z=4时，Y=5；所以纸盒需要多少纸板就是面积为2X（XY+YZ+XZ)=22或94。
4. 数学竞赛
正解： 4 （a、b分别取2和4的时候可得此结果）； 暂时只解出来了这一组额…… （貌似a、b分别为4和10结果仍为4） 个人文字功力有限，对于文字描述思路过程实在是有心无力了，还请见谅……
5. 数学竞赛
解：设5个点的坐标分别为（a1,b1),（a2,b2),（a3,b3),（a4,b4),（a5,b5).由于均为整点，则a1-5,b1-5都为整数。 假设A，B分别代表奇数和偶数，横坐标或A或B，有2种可能；纵坐标也是或A或B，有2种可能。任意整点的奇偶形态最多有2×2=4种： （A，A），（A，B），（B，A），（B，B）。根据抽屉原理，该5个点中必有2个点奇偶形态重合。 该2个奇偶形态重合点连线的的中点横坐标是该两点横坐标之和的一半，纵坐标是该两点纵坐标之和的一半。由于A+A=B，为偶数；B+B=B，仍为偶数，所以无论哪种重合方式，该两点连线的中点的横纵坐标都是某个偶数的一半，故该两点的连线的中点为整点。 综上，原题得证。
6. 数学竞赛
设原四位数可以表示为abcd; b+d=12; a+c=9; (1000c+100d+10a+b)-(1000a+100b+10c+d)=2376; a的取值为1,2,3,4,5,6,7,8,9; b,c,d的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; 利用上述三个方程与未知数的取值范围可以解出原数。 方法为：分别让a的值为：1,2,3,4,5,6,7,8,9;代入方程解出bcd看是否满足条件。逐个验证一遍即可。
7. 数学竞赛
设答对的题数为a，答错的题数为b，不答的题数为c。由题意知，a+b+c=20 参加比赛得分的总和为： 5a-b-c=6a-(a+b+c）=6a-20=2(3a-10) 所以参加比赛得分的总和一定是偶数。
8. 数学竞赛
答案：10.5分
方法为图解。
过程：
作图如下：
（1）横坐标代表人数，纵坐标代表平均分数；
（2）调整前，二等奖为20人，其平均分数为AC线所示，
调整前，二等奖的总分为浅蓝色矩形ABDC的面积所示。
（3）调整前，原是一等奖后被分出来的4个人的平均分如图EF线所示；
这4个人的总分为蓝色矩形EDGF的面积所示。
（4）调整前，除了后分出来的4人外，一等奖还有6人，
他们的平均分如图HI线所示；
他们的总分为绿色矩形HGJI的面积所示。
（5）因为数学竞赛是按照分数高低来排名的，
则一等奖中的后4名肯定要比前面6个人的分数低。
所以调整前一等奖10个人的平均分
一定比4个人的平均分高，比6个人的平均分低，
调整前，一等奖的平均分数为PQ线所示。
调整前，一等奖的总分为矩形KDJQ所示。
题目所求为：原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分
即求：图中虚线一和虚线二之间的距离，即线PA的长度。
（6）调整后，二等奖的平均分肯定比原先是一等奖的4个人的低，
比原来二等奖的20个人高，如图RN线所示。
注意：图中矩形ELNF和矩形RACL的面积是相等的。
因为：调整后二等奖的总分为矩形RBGN的面积
而调整后二等奖的总分是
浅蓝色矩形ABDC的面积加上蓝色矩形EDGF的面积。
（7）调整后，一等奖的6个人的平均分就是开始那6个人的平均分，
如图HI线所示。
注意：图中矩形HMQI和矩形KEFM的面积是相等的。
因为：调整后一等奖的总分为绿色矩形HGJI的面积
而调整前一等奖的总分是矩形KDJQ的面积。
开始解题……
（1）因为：二等奖学生的平均分提高了1分
所以：图中RN线比AC线高1分
即：RA=LC=NO=1分
（2）因为：一等奖学生的平均分提高了3分
所以：图中HI线比PQ线高3分
即：HM=IQ=3分
（3）矩形KEFM的面积=矩形HMQI的面积
=HM×MQ=3分×6人=18(分·人)
又已知EF=4人
故：MF=KE=18/4=4.5分
（4）矩形ELNF的面积=矩形RACL的面积
=RA×BD=1分×20人=20(分·人)
又已知EF=4人
故：FN=EL=20/4=5分
所以：PA=MF+FN+NO=4.5分+5分+1分=10.5分
为所求。
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