复变函数中的对数函数的两天性质似乎有冲突

1. 复变函数中的对数函数的两天性质似乎有冲突

显然ln z是一个多值的函数，
对于每个ln(z^2)都可以找到对应相等的2ln z
但由于ln z^2和ln z周期不同，所以2lnz取值多于ln z^2.

设z=|z|*e^(iφ)，则z^2=|z|^2*e^(2iφ)
2lnz=2ln|z|+2i(φ+2kπ) k=0,1,2,…
ln(z^2)=ln(|z|^2)+i(2φ+2kπ)
       =2ln|z|+2i(φ+kπ)  k=0,1,2,…
可以看出，ln z^2和ln z周期分别为π和2π.

若只考虑k=0的情况：
2lnz=2ln|z|+2*iφ
ln(z^2)=ln(|z|^2)+i*2φ
两者是相等的。

结论嘛，不严格的说，两者是相等的。

2. 复变函数问题

这个题实际上是要说明对于复变函数而言，幂函数可能是多值的。所谓的多值，就是指对于一个自变量z，z^α会有多个取值。在实变函数里面，这种情况出现得比较少，只有反三角函数会出现多值，而且对这类多值函数取它们的“主值”，这时候多值函数就变成单值函数了。但是在复变函数里面，为了考虑方程所有的根，这时候反而希望兼顾函数的所有值，而不是单个的值。在这个题，决定函数多值性的是整数k。当α为整数的时候，2kα必定是偶数，而函数exp(z)是周期函数，所以当自变量相差2πi的整数倍的时候，函数值是相同的，也就是说函数值和整数k无关，所以这个时候是单值的。当α是有理数的时候，不妨假设α=p/q（既约分数），那么2kα=2kp/q。当k1和k2之间相差q的整数倍的时候，2k1α和2k2α之间的差也是偶数，这个时候还是因为exp(z)的周期性，从而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的，因此当不同的k之间相差q的整数倍的时候，函数值是相等的。而如果不同的k之间相差不足q的整数倍，也就是说被q除还有余数，那么函数值就有可能不同。因为不同的余数恰好有0,1,2,……,q-1共q种可能，所以会有q个值。这个时候，幂函数z^α是多值函数，且有q个值。当α是无理数的时候，就不满足整除余数的周期性了，所以对于不同的k值，就有不同的函数值，因此z^α函数也是多值函数，函数值的个数是可数无穷多个。

3. 1的对数是多少

1的对数是0。
如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么数X叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。
我们知道，任何一个不等于零的数的零次幂都等于1。
即：a^0=1 代入对数式，就可以得到loga1=0所以，1的对数永远是0。

扩展资料：
事实上，当  ，  ，则有e(2k+1)πi+1=0，所以ln(-1)的具有周期性的多个值，ln(-1)=(2k+1)πi。这样，任意一个负数的自然对数都具有周期性的多个值。例如：ln(-5)=(2k+1)πi+ln 5。
对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}。
函数基本性质：
1、过定点  ，即x=1时，y=0。
2、当  时，在  上是减函数；当  时，在 上是增函数。

4. 对数复合函数的值域与定义域问题

因为要使函数值域为R，则真数必须能取一切正实数。
而真数是一个二次函数。令t=ax^2+2x+1.
因此，要让t>0即t取一切正数，即二次函数的值域一定为R+,所以二次函数开口一定向上。
如果△=M(M为一个正数)，这样t的值取不完所以正数，故函数的值域是[lgM,+∞)，不是R了。
如果△>=0，则t>=M（M为0或负数），又因为t作为真数，所以当t0，此时函数的值域为R了。
请认真看一下，看是否理解呀！

5. 复变函数对数函数我想不明白？，求高手解答，多谢！

确定一个复数的辐角主值，要数型结合；
Z=-1+O*i,它对应的点在x负半轴上，因此，arg(-1)=π是很正常的；
至于为什么用反三角表示，在此不推荐，因为它俩范围不一样；
0≤argz<2π
-π/2<arctanθ<π/2
如果这个复数对应的点，在0到2π的一象限它俩是可以相等的，不在这个范围的话就要进行诱导；
没有那个必要 ；

6. 请问反三角函数与复变对数有什么关系？

如图所示：

这个虚数就是联系它们之间转化的

7. 对数函数判断奇偶性

先回答第一个问题
    对数型函数的奇偶性判断，一般不仅要利用奇偶性定义而且还有结合对数运算的性质.当然在这之前需看定义域是否关于原点对称.
    例如判断函数y=ln(1-x)/(1+x)的奇偶性.
解析：函数的定义域为（-1，1），关于原点对称.
   f(-x)=ln(1+x)/(1-x))=ln[(1-x)/(1+x)]^-1=-ln[(1-x)/(1+x)]=f(x).所以该函数为奇函数.
第二个问题,首先要保证两个函数定义域的交集非空，然后才可以继续讨论.
奇函数与偶函数积一定是奇函数;
奇函数与奇函数积一定是偶函数.
可以利用奇偶性的定义证明.

8. 复变函数的解析性

lnz=ln|z|+argz;
 
这个公式即可 感觉你的过程更加复杂 我的这个公式就可以直接得出u=ln|z|;v=argz; 
希望能够帮助到你。。。 直接上面我的公式即可   ，还有需要注意的是Lnz和lnz是不一样的