函数的凹凸性是怎么定义的

1. 函数的凹凸性是怎么定义的

在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。
例子：设函数 在 上连续。
如果对于 上的两点  ，恒有
1、 ，
2、
那么称第一个不等式中的 是区间  上的凸函数；称第二个不等式中的  为严格凸函数。
同理如果恒有
1、 ，
2、
那么称第一个不等式中的  是区间 上的凹函数；称第二个不等式中的 为严格凹函数。

扩展资料：
不过，在中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸，是指曲线，而不是指函数，图像的凹凸与直观感受一致，却与函数的凹凸性相反。
但只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了。
另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：
1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）
2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）
参考资料：百度百科—函数的凹凸性

2. 凹函数和凸函数的定义到底是什么？

凹函数是一个定义在某个向量空间的凸集C（区间）上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1<X2和任意的实数λ∈（0，1），总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的凹函数。
凸函数是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。
凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。


扩展资料
每一个在内取值的线性变换都是凸函数，但不是严格凸函数，因为如果f是线性函数，那么f(a + b) = f(a) + f(b）。如果我们把“凸”换为“凹”，那么该命题也成立。
每一个在内取值的仿射变换，也就是说，每一个形如f(x) = aTx + b的函数，既是凸函数又是凹函数。
每一个范数都是凸函数，这是由于三角不等式。
如果f是凸函数，那么当t > 0时，g(x,t) = tf(x / t）是凸函数。
单调递增但非凸的函数包括和g(x) = log(x）。
非单调递增的凸函数包括h(x) = x2和k(x) = − x。
函数f(x) = 1/x2，f(0)=+∞，在区间（0,+∞）内是凸函数，在区间（-∞，0）内也是凸函数，但是在区间（-∞，+∞）内不是凸函数，这是由于x = 0处的奇点。
参考资料来源：百度百科-凸函数
参考资料来源：百度百科-凹函数

3. 函数的凹凸性有什么意义

就是二阶导的问题，图形是（向上）凹的，或图形是（向上）凸的
设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有[1] 
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),

若不等号严格成立，即"<"号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。
如果"="就是凸函数。类似也有严格凸函数。[1] 
设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有
f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2
那么称f(x)在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有
f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2
那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）
这个定义从几何上看就是：
在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。[1] 
直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如

如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;[1-2]   

不过补充一下，中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。Convex Function在国内的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。在国内涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和国外的提法是一致的，也就是和单纯的数学教材是反的。很头大的问题。[1] 
另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：
1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）
2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）
凸/凹向原点这种说法一目了然。上下凸的说法也没有歧义[2] 
在二维环境下，就是通常所说的平面直角坐标系中，可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹，当然它也对应一个解析表示形式,就是那个不等式。但是，在多维情况下，图形是画不出来的，这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了，只能通过表达式，当然n维的表达式比二维的肯定要复杂，但是，不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解，都是描述的同一个客观事实。而且，按照函数图形来定义的凹凸和按照函数来定义的凹凸正好相反。
琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式）：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);设f(x)为凹函数，f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),称为琴生不等式。
加权形式为：f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.

4. 函数的凹凸性是怎样定义的

设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有[1] 
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),

若不等号严格成立，即"<"号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。
如果"="就是凸函数。类似也有严格凸函数。
设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有
f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2
那么称f(x)在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有
f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2
那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）
通俗说，函数上某点x0，如果对这点附近的函数值f（x）都不大于f（x0），则在该点是凸的。反之，是凹的。对于函数f（x），如果f'(x)>0则是凸的，否则是凹的。

5. 函数的凹凸性是怎样定义的

在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。
例子：设函数 在 上连续。
如果对于 上的两点  ，恒有
1、 ，
2、
那么称第一个不等式中的 是区间  上的凸函数；称第二个不等式中的  为严格凸函数。
同理如果恒有
1、 ，
2、
那么称第一个不等式中的  是区间 上的凹函数；称第二个不等式中的 为严格凹函数。

扩展资料：
不过，在中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸，是指曲线，而不是指函数，图像的凹凸与直观感受一致，却与函数的凹凸性相反。
但只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了。
另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：
1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）
2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）
参考资料：百度百科—函数的凹凸性

6. 函数的凹凸性是怎么定义的

在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。
例子：设函数 在 上连续。
如果对于 上的两点  ，恒有
1、 ，
2、
那么称第一个不等式中的 是区间  上的凸函数；称第二个不等式中的  为严格凸函数。
同理如果恒有
1、 ，
2、
那么称第一个不等式中的  是区间 上的凹函数；称第二个不等式中的 为严格凹函数。

扩展资料：
不过，在中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸，是指曲线，而不是指函数，图像的凹凸与直观感受一致，却与函数的凹凸性相反。
但只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了。
另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：
1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）
2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）
参考资料：百度百科—函数的凹凸性

7. 函数的凹凸性是怎么定义的?

x1,x2属于区间[a,b],若[f(x1)+f(x2)]/2>f((x1+x2)/2)则函数f(x)在区间[a,b]内为凹函数. 
  x1,x2属于区间[a,b],若[f(x1)+f(x2)]/2

8. 谁知道凸函数和凹函数的定义与性质

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集c（区间）上的实值函数f
设f为定义在区间i上的函数，若对i上的任意两点x1，x2和任意的实数λ∈（0，1），总有
f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),
则f称为i上的凸函数.
凹函数小于等于号改为大于等于号