求矩阵A=(第一行2 -1 2第二行 5 -3 3第三行 -1 0 -2)的特征值和特征向量

1. 求矩阵A=(第一行2 -1 2第二行 5 -3 3第三行 -1 0 -2)的特征值和特征向量

特征多项式为：(η+1)^3
有三重根η=-1
故特征值为η1=η2=η3=-1
对应的特征向量为：α=(1,1,-1)
设矩阵A的特征值为λ
则A-λE=
2-λ -1 2
5 -3-λ 3
-1 0 -2-λ
令其行列式等于0，即
2-λ -1 2
5 -3-λ 3
-1 0 -2-λ 第3列加上第1列乘以-2-λ
=
2-λ -1 λ^2-2
5 -3-λ -5λ-7
方法：
求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式。
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值。
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）。

2. 求矩阵A=(第一行2 -1 2第二行 5 -3 3第三行 -1 0 -2)的特征值和特征向量

设矩阵A的特征值为λ
则A-λE=
2-λ   -1    2
 5   -3-λ   3
-1     0   -2-λ
令其行列式等于0，即
2-λ   -1    2
 5   -3-λ   3
-1     0   -2-λ   第3列加上第1列乘以-2-λ
=
2-λ   -1    λ^2-2
 5   -3-λ   -5λ-7
-1     0      0        按第3行展开
= -1*[5λ+7-(3+λ)(λ^2-2)]
=-(λ+1)^3
=0
所以解得A的三个特征值都是 -1

那么
A-λE=
 3   -1    2
 5   -2    3
-1    0   -1   第1行加上第3行×3，第2行加上第3行×5
～
 0   -1   -1
 0   -2   -2
-1    0   -1   第2行减去第1行，第1行乘以-1，第3行乘以-1，交换第1行和第3行
～
1 0 1
0 0 0
0 1 1  交换第2行和第3行，
～
1 0 1
0 1 1
0 0 0
所以得到特征向量为(1，1，-1)^T

故矩阵A的三个特征值都是-1，
其特征向量为(1，1，-1)^T

3. 矩阵A=第一行1 2 4第二行2 -2 2第三行4 2 1求A的特征值与所对应的特征向量

设矩阵A的特征值为λ
则A-λE=1-λ  2    4
             2   -2-λ  2
             4    2   1-λ
令其行列式等于0，即
1-λ   2     4
 2   -2-λ   2
 4     2    1-λ  第3行减去第1行
 
=
1-λ    2     4
 2   -2-λ    2
3+λ   0   -3-λ  第1列加上第3列
=
5-λ    2     4
 4   -2-λ    2
 0     0   -3-λ
 
按第3行展开
=(-3-λ) [(5-λ)(-2-λ) -8]
=0

化简得到：(-3-λ)(λ-6)(λ+3)=0，
所以方阵A的特征值为：λ1=λ2= -3，λ3=6

当λ= -3时，
A+3E=(4，2，4    ～ (2，1，2
           2，1，2           0，0，0 
           4，2，4)         0，0，0）
得到其两个基础解系为
p1= 1                p2= 1
      -2                       0
       0                      -1

当λ=6时，
A-6E
=( -5，2，4     r1+2.5r2   r3-2r2  r2 /2
     2，-8，2 
     4，2，-5) 
  
～(0，-18，9
     1，-4，1
     0，18，-9)   
 
～(1，0，-1
     0，2，-1
     0，0，0)
得到其基础解系为
p3= 2
       1
       2

所以这个三阶矩阵的特征值为：λ1=λ2= -3，λ3=6
其对应的特征向量分别是
p1= 1                p2= 1          p3= 2
      -2                       0                 1
       0                      -1                 2

4. 求矩阵A=(第一行2 -1 2第二行 5 -3 3第三行 -1 0 -2)的特征值和特征向量

由λI-A=0,得矩阵
λ-2 1 -2
-5 λ+3 -3
1 0 λ+2,其行列式det(|λI-A|)=0，得(λ-2)(λ+3)(λ+2)-3+2(λ+3)+5(λ+2)=0，解得三个λ即答案

5. 求矩阵A=(第一行2 -1 2第二行 5 -3 3第三行 -1 0 -2)的特征值和特征向量

特征多项式为：(η+1)^3
有三重根η=-1
故特征值为η1=η2=η3=-1
对应的特征向量为：α=(1,1,-1)
设矩阵A的特征值为λ
则A-λE=
2-λ -1 2
5 -3-λ 3
-1 0 -2-λ
第一性质
线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。
特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。
特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。
线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

6. 设矩阵A=（1,2,3 2,1,3 3,3,6）求A的特征值,特征向量~第一行是...

设矩阵A的特征值为λ则A-λE=1-λ
2
32
1-λ
33
3
6-λ令其行列式等于0,即1-λ
2
32
1-λ
33
3
6-λ
第2行减去第1行=1-λ
2
31+λ
-1-λ
03
3
6-λ
第1列加上第2列=3-λ
2
30
-1-λ
06
3
6-λ
按第2行展开=(-1-λ)[(3-λ)(6-λ)
-18]=0化简得到λ
(-1-λ)(λ
-9)=0解得方阵A的特征值为：λ1=0,λ2=
-1,λ3=9当λ=0时,A-0E=1
2
3
2
1
33
3
6
第2行减去第1行乘以2,第3行减去第1行乘以31
2
30
-3
-30
-3
-3
第3行减去第2行,第2行除以-3,第1行减去第2行×21
0
10
1
10
0
0得到其基础解系为(1,1,-1)^T当λ=
-1时,A+E
=2
2
3
2
2
33
3
7
第2行减去第1行,第3行减去第1行×1.52
2
30
0
00
0
2.5
第3行除以2.5,第1行减去第3行乘以3,第2第3行交换,第1行除以21
1
00
0
10
0
0得到其基础解系为(1,-1,0)^T当λ=9时,A-9E=-8
2
3
2
-8
33
3
-3
第3行除以3,第1行加上第3行×8,第2行减去第3行×20
10
-50
-10
51
1
-1
第1行加上第2行,第2行除以
-10,第3行减去第2行,第1行和第3行交换1
0
-0.50
1
-0.50
0
0得到其基础解系为(1,1,2)^T所以A的3个特征值为0,-1和9,其对应的特征向量分别为(1,1,-1)^T、(1,-1,0)^T和(1,1,2)^T

7. 矩阵A=第一行1 2 4第二行2 -2 2第三行4 2 1求A的特征值与所对应的特征向量

设矩阵A的特征值为λ
  则A-λE=1-λ 2 4
  2 -2-λ 2
  4 2 1-λ
  令其行列式等于0,即
  1-λ 2 4
  2 -2-λ 2
  4 2 1-λ 第3行减去第1行
  
  =
  1-λ 2 4
  2 -2-λ 2
  3+λ 0 -3-λ 第1列加上第3列
  =
  5-λ 2 4
  4 -2-λ 2
  0 0 -3-λ
  
  按第3行展开
  =(-3-λ) [(5-λ)(-2-λ) -8]
  =0
  化简得到：(-3-λ)(λ-6)(λ+3)=0,
  所以方阵A的特征值为：λ1=λ2= -3,λ3=6
  当λ= -3时,
  A+3E=(4,2,4 ～ (2,1,2
  2,1,2 0,0,0 
  4,2,4) 0,0,0）
  得到其两个基础解系为
  p1= 1 p2= 1
  -2 0
  0 -1
  当λ=6时,
  A-6E
  =( -5,2,4 r1+2.5r2 r3-2r2 r2 /2
  2,-8,2 
  4,2,-5) 
  
  ～(0,-18,9
  1,-4,1
  0,18,-9) 
  
  ～(1,0,-1
  0,2,-1
  0,0,0)
  得到其基础解系为
  p3= 2
  1
  2
  所以这个三阶矩阵的特征值为：λ1=λ2= -3,λ3=6
  其对应的特征向量分别是
  p1= 1 p2= 1 p3= 2
  -2 0 1
  0 -1 2

8. 求矩阵A=(第一行2 -1 2第二行 5 -3 3第三行 -1 0 -2)的特征值和特征向量

第一性质
线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。
特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。
特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。
线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。【摘要】
求矩阵A=(第一行2 -1 2第二行 5 -3 3第三行 -1 0 -2)的特征值和特征向量【提问】
特征多项式为：(η+1)^3
有三重根η=-1
故特征值为η1=η2=η3=-1
对应的特征向量为：α=(1,1,-1)
设矩阵A的特征值为λ
则A-λE=
2-λ -1 2
5 -3-λ 3
-1 0 -2-λ【回答】
第一性质
线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。
特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。
特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。
线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。【回答】
过程写一下【提问】
亲，我说的第一性质那段话就是过程哦～【回答】
我的意思是能不能把这道题的过程写一下【提问】
特征多项式为：(η+1)^3
有三重根η=-1
故特征值为η1=η2=η3=-1
对应的特征向量为：α=(1,1,-1)
设矩阵A的特征值为λ
则A-λE=
2-λ -1 2
5 -3-λ 3
-1 0 -2-λ【回答】
特征行列式IλE-AI=（λ+1）^3=0
λ=-1,-1,-1
则（λE-A）X=0
系数矩阵为（-3.1.-2；0.1.1；0.0.0）
直接写特征向量a1=（-1.-1.1）^T【回答】