函数的单调性与奇偶性

1. 函数的单调性与奇偶性

最简单的方法使用导数来区别
步骤：
奇偶性：
        1.先看定义域是否关于原点对称
        2.如果不是关于原点对称,则函数没有奇偶性
        3.若定义域关于原点对称
        4.则f(-x)=f(x),f(x)是偶函数 
        5.f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数    
单调性：
        1.先在区间上取两个值,一般都是X1、X2 设X1＞X2（或者X1＜X2）
        2.把X1、X2代进去f(x)解析式做差 也就是f(X1)-f(X2)
        3.关化简,化成乘或除的形式
        4.若满足 f(X1)-f(X2)＞0则是增函数

2. 函数的奇偶性和单调性

函数类别                          奇偶性                     单调性                                特殊点 
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正比例函数（y=kx）         奇函数                     k＞0，单调增                     过原点（0,0）
k＜0，单调减
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一次函数（y=kx+b）          b=0时，奇函数       k＞0，单调增                     与y轴交点（0，b）
b≠0时，非奇非偶    k＜0，单调减                    与x轴交点（-b/k，0）
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二次函数（y=ax²+bx+c）   b=0，偶函数           在R上无单调增            与x轴的交点（与△有关）
b≠0，非奇非偶        或单调减                           与y轴的交点（0，c）
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反比例函数（y=k/x）          奇函数                   k＞0，同个象限内单调增     无（x，y均不等于0）
k＜0，同个象限内单调减

3. 函数的单调性和奇偶性的概念

奇偶性
  1．定义
  一般地,对于函数f(x)
  （1）如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
  （2）如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
  （3）如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数.
  （4）如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数.
  说明：①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言
  ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇（或偶）函数.
  （分析：判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
  ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
  2．奇偶函数图象的特征：
  定理 奇函数的图象关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形.
  f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称
  点（x,y）→（-x,-y）
  奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增.
  偶函数 在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减.
  单调性：
  一般地,设函数f(x)的定义域为I：
  如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1、x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数.
  如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数.
  如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数.那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性,这一区间叫做y= f(x)的单调区间,在单调区间上增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.
  注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性； 
  （2）函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念； 
  （3）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：
  a.设x1、x2∈给定区间,且x1

4. 函数的单调性与奇偶性

x>0增函数则x<0也是增函数
若x(x-1/2)<0
0<x<1/2
则f(-1)=-f(1)=0
所以f[x(x-1/2)]<f(-1)
增函数
x(x-1/2)<-1
x²-x/2+1/16<-1+1/16
(x-1/4)²<-15/16
无解

若x(x-1/2)>0
x1/2
所以f[x(x-1/2)]<f(1)
增函数
x(x-1/2)<1
x²-x/2-1<0
x²-x/2-1=0的根是(1±√17)/4
(1-√17)/4<x<(1-√17)/4
且x1/2
所以(1-√17)/4<x<0，1/2<x<(1+√17)/4

5. 有关函数的单调性与奇偶性

+1或-1

由奇函数定义，f(-x)=-f(x)解方程得来 

注意a=-1时函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）在这个定义域上函数为奇函数，因此a=-1是满足条件的，不要漏解

6. 函数的单调性与奇偶性

根据函数f(x)+g(x）的奇偶性通过做差，分别求出f(x)和g(x），由于g(b)=a,得到a=2,故有f(x)=2^x-2^-x,解得f(2)=15/4.

7. 函数的单调性与奇偶性

(1)f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0得：f(0)= f(0) +f(0)
f(0)=0.
令y=-x得：f(0)= +f(-x), f(-x)=- f(x)
所以函数是奇函数。
(2)任取实数x1,x2,且x1>x2>0,
f(x+y)=f(x)+f(y),令x=x1,y=-x2: f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2),
因x1>x2>0,所以x1-x2>0，f(x1-x2)＜0，
即f(x1)+f(-x2) ＜0，f(x1)-f(x2)<0
∴该函数是R上的减函数。
当x∈[-3，3]时f(x)的最小值为f(3)=f(1)+f(2)
= f(1)+ f(1)+ f(1)=-6,
最大值为f(-3)=-f(3)=6

8. 函数的单调性与奇偶性

f(x+c)=-f(x)
即-f(x+c)=f(x)

f(x+2c)
=f[(x+c)+c]
=-f(x+c)
=f(x)
所以是周期函数
T=2c