你见过的数学或者物理学里最巧妙的证明是什么？

1. 你见过的数学或者物理学里最巧妙的证明是什么？

斐波那契数列的恒等式
可谓家喻户晓的斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21 ……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，即F n+1= F n+ F n-1，
它的通项公式是，

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的，而且当n无穷大时，F n-1 / F n 越来越逼近黄金分割数0.618，正因为它的种种神奇性质，美国数学会甚至从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊。
关于斐波那契数列，有一个恒等式是这样的，
这个等式很漂亮，不需要借助复杂的数学推导，它有一个很直观的证明方法。

2. 数学中有哪些巧妙的证明过程？

有关数学公式的证明很多，下面介绍几个常见公式的巧妙证明过程。
（1）自然数的立方和=自然数之和的平方

上述等式的左边为自然数的立方和，等式的右边为自然数之和的平方。虽然通过分别推导出左右两边的计算公式就能证明该等式，但通过如下的图形很直观地就能证明上式：

把自然数立方和的图形平铺看来，其中的正方体数量刚好是就是自然数之和的平方，所以就能证明上述等式成立。
（2）勾股定理

这个公式为勾股定理，我国在商朝时就已经发现了直角三角形的一个特例——勾三股四玄五，后来的中外数学家通过各种方法来证明这个公式。下面要介绍的是加菲尔德证法的变形方法，这可以很容易证明勾股定理：

大正方形的面积为：
(a+b)^2
大正方形的面积也等于四个三角形的面积以及小正方形的面积之和：
4×(1/2ab)+c^2
由此可得下式：
(a+b)^2=4×(1/2ab)+c^2
化简之后，即可得勾股定理：
a^2+b^2=c^2
（3）欧拉恒等式

这个公式就是著名的欧拉恒等式，它被誉为最美的数学公式。一个十分简单的公式就结合了数学中最重要的常数——自然常数e、虚数单位i、圆周率π、自然数1、自然数0，以及最重要的数学符号——加号+、等号=。
欧拉恒等式源自于如下的欧拉公式：

对欧拉公式的左边e^(iθ)进行泰勒展开可得：

再分别对cosθ和sinθ进行泰勒展开可得：

显然，cosθ与sinθ之和刚好等于e^(iθ)，由此就能证明欧拉公式成立。再令欧拉公式中的θ=π，即可得下式：
e^(iπ)=-1+0
对上式进行移项，最终就可以推导出欧拉恒等式的常见形式。
（4）证明圆周率是无理数
虽然人类早在三千多年前就已使用圆周率，但直到两百多年前，数学家才首次证明圆周率是一个无理数。圆周率是无理数的证明方法不少，下面要介绍的是数学家Ivan M. Niven给出的反证法，这种方法简单而又巧妙。
倘若π为有理数，必然存在整数a和b，使得下式成立：
π=a/b
构造如下两个函数：


其中n为正整数。
显然，f^k(0)、f^k(π)、F(0)以及F(π)都为整数。而且f(x)和f^k(x)都会满足f(x)=f(π-x)，它们都在x=0以及x=π处可积。
再构造函数G(x)=F'(x)sinx-F(x)cosx，并对其进行求导可得：

对上式两边从0到π都进行积分可得下式：

因为F(0)以及F(π)都为整数，故F(π)+F(0)亦是整数。当x∈(0, π)时，显然有f(x)>0且sinx>0，故f(x)sinx>0，所以F(π)+F(0)>0，并且f(x)sinx在[0, π]上的积分为正整数。
当x∈(0, π)时，显然有a-bx<a，故(a-bx)^n<a^n。因为x^n<π^n，所以可得如下的不等式：

显然，当n→+∞时，f(x)sinx→0，由夹逼定理可得，f(x)sinx在[0, π]上的积分也会趋于0。然而，上述的推导表明这个积分是正整数，所以两者出现了矛盾。这意味着π=a/b不成立，所以圆周率必然为一个无理数。

3. 在数学中有哪些比较经典而且奇妙的证明方法？

按照从前，甚至现在一部分人的固有思维，如果一个大铁球一个小铁球从同样的高度自由落体，应该是大的铁球先落地。如果要论证这条理论的错误，很多人可能会从空气阻力、物体质量、受力形状等方方面面分析。可是伽利略用了一个极其简单的办法论证，他就发问：如果把两个铁球用绳子连起来，那么速度又会怎样？这就是一个悖论：按理，大小铁球连在一起，一个速度慢一个快，那么速度应该是二者平均。可是两个铁球连在一起，质量是大于大铁球的，应该比大铁球下落速度更快。于是伽利略论证物体自由落体速度与自身质量无关。并当众演示（历史上并没有记载是在比萨斜塔）在美国的阿波罗计划里，宇航员在月球也重复了这个实验。只是一根绳子就打破了人的固有印象，没有任何说教与繁复的证明，就是小学生也可以轻易理解，要说论证的巧妙名副其实，还带火了那座本是建筑失败品的比萨斜塔。

4. 有哪些数学证明非常有趣

数学上的难题很多很多，有很多数学难题几百年都没有得到解决。而数学家们也在不断探索和冲锋，以求解决这些问题。问题的提出是富有意义的，问题的探索和解决过程也是极富意义的。下面列了几个猜想，欢迎大家一起交流和讨论。

哥德巴赫猜想
等级：五颗星，数学王冠上的钻石；
内容：哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。
进展：1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。1956年，王元证明了“3+4”；同年，原苏联数学家阿·维诺格拉朵夫证明了“3+3”；1957年，王元又证明了“2+3”；潘承洞于1962年证明了“1+5”；1963年，潘承洞、巴尔巴恩与王元又都证明了“1+4”；1966年，陈景润在对筛法作了新的重要改进后，证明了“1+2”。

黎曼猜想
等级：五颗星，巍峨山峰，屹立不倒；
内容：黎曼函数的所有的非平凡零点，实部都是1/2。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士，之后他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。

进展：黎曼猜想自 “诞生”以来，已过了160个春秋，在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。有人统计过，在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。

费马大定理
等级：五颗星，困惑了世间智者358年的迷；
内容：1637年，法国业余数学家费马在研读丢番图的《算术》时，在书上写了短短的几行，大意为：除平方之外，任何次幂都不能拆分为两个同次幂之和。我已经找到了一个绝妙的证明，但书边空白过窄，写不下。

进展：这个恶作剧式的问题就是著名的费马大定理，这个谜题困惑了数学界整整358年之久，在这期间大名鼎鼎的数学家欧拉、高斯、柯西、勒贝格等人都有过不同的尝试，但均未成功。直到1994年，由英国数学家安德鲁-怀尔斯解决。


孪生素数猜想
等级：五颗星，数论史上的经典难题，171岁“高龄”了；
内容：在1849年，阿尔方·德·波利尼亚克提出了一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对（p, p + 2k）。k = 1的情况就是孪生素数猜想。孪生素数就是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13…。这个猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。素数对（p, p + 2）称为孪生素数。
进展：2013年4月17日，数学家张益唐将论文投给世界数学界最负声誉的《数学年刊》（Annals of Mathematics），在张益唐的论文中，他给出的结果是，存在无数对相邻素数，它们的差相差不过7000万。但这只是一个估计，并非张益唐的方法能得到的最好结果。在论文出炉后，一些数学家吃透了新方法，开始试着改进这个常数，进一步拉近了与最终解决孪生素数猜想的距离。在2014年2月，张益唐的七千万已经被缩小到246。

庞加莱猜想
等级：五颗星；
内容：1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现其中的错误，修改为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”后来这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

通俗易懂的语言描述这个问题就是：上图中的小球，我们用一根绳子套住，绳子的两端在黄点位置相遇，如果在黄点用力向左右两端拉绳子，会发现绳子套的圈在慢慢缩小，最后可以缩小到一个点，将绳子收回。

进展：大于等于五维的庞加莱猜想被斯蒂芬·斯梅尔证明；四维的庞加莱猜想被迈克尔·弗里德曼证明；三维的庞加莱猜想被俄罗斯数学家佩雷尔曼于2002-2003年证明。他们分别获得1966年，1986年和2006年菲尔兹奖。2006年8月，有着数学界诺贝尔奖之称的“菲尔兹奖”，授予了佩雷尔曼，以表彰他在几何学上的贡献。一枚印有阿基米德浮雕头像的奖章和约1.35万美元的奖金，同样被拒之门外。对此，他给出的理由是“没有路费来领奖”。

以上即是我所熟悉了解的几个世界的著名数学难题，也期待大家介绍一下其他的数学难题！
（转自头条号-数学经纬网）

5. 有哪些数学证明非常有趣？

1. 哥德尔不完备性定理
任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题（即体系是不完备的）。

任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明它本身的相容性。

2. 连续统假设
不存在一个基数绝对大于可列集而绝对小于实数集的集合。

3. 巴拿赫－塔斯基定理
这一定理指出在选择公理成立的情况下，可以将一个三维实心球分成有限（不可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。

6. 数学是各式各样的证明技巧是谁说的

考特
关于数学的一些名言
数学是无穷的科学。－－赫尔曼外尔
问题是数学的心脏。－－P.R.Halmos
只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡。－－Hilbert
数学中的一些美丽定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。－－－高斯
哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。……又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。－－－柏拉图　
高斯（数学王子）说：“数学是科学之王”
罗素说：“数学是符号加逻辑”
毕达哥拉斯说：“数支配着宇宙”
哈尔莫斯说：“数学是一种别具匠心的艺术”
米斯拉说：“数学是人类的思考中最高的成就”
培根（英国哲学家）说：“数学是打开科学大门的钥匙”
布尔巴基学派（法国数学研究团体）认为：“数学是研究抽象结构的理论”
黑格尔说：“数学是上帝描述自然的符号”
魏尔德（美国数学学会主席）说：“数学是一种会不断进化的文化”
柏拉图说：“数学是一切知识中的最高形式”
考特说：“数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠”
笛卡儿说：“数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。所有研究顺序和度量的科学均和数学有关。”
恩格斯（自然辩证法哲学家）说：“数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学
克莱因（美国数学家）说：“数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度”
伽利略说：“给我空间、时间、及对数，我可以创造一个宇宙”“自然界的书是用数学的语言写成的”牛顿说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”，哈尔莫斯说：“数学的创作绝不是单靠推论可以得到的，首先通常是一些模糊的猜测，揣摩着可能的推广，接着下了不十分有把握的结论。然后整理想法，直到看出事实的端倪，往往还要费好大的劲儿，才能将一切付诸逻辑式的证明。这过程并不是一蹴可几的，要经过许多失败、挫折，一再地猜测、揣摹，在试探中白花掉几个月的时间是常有的。”
拉普拉斯说：“在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟”
维特根斯坦说：“数学是各式各样的证明技巧”
华罗庚说：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要”
纳皮尔说：“我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算”
开普勒说：“以我一生最好的时光追寻那个目标……书已经写成了。现代人读或后代读都无关紧要，也许要等一百年才有一个读者”
拿破仑说：“一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国立的强大。数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关”

7. 趣味数学证明

设蚂蚁重量为x克，大象的重量为y克，它们的重量和为2a克，则：x+y=2a
两边同乘以（x-y），得（x+y）（x-y）=2a（x-y），
即x2-y2=2ax-2ay
可变形为x2-2ax=y2-2ay
两边都加上a2，得（x-a）2=（y-a）2，
两边开平方，得x-a=y-a
所以x=y

8. 数学证明你

1. 两个抛物线的顶点求出：
(-1，-2)和(1，2)
代入C2和C1，可知：第一个点无法相等，第二个可以。因此两者不关联。