P为角AOB内的一点，OA=OB，且△OPA与△OPB面积相等，求证;∠AOP=∠BOP.

1. P为角AOB内的一点，OA=OB，且△OPA与△OPB面积相等，求证;∠AOP=∠BOP.

过P做PE垂直OA于E    PF垂直OB于F
因为△OPA的面积=OA*PE/2
       △OPB的面积=OB*PF/2
因为△OPA的面积=△OPB的面积
        OA=OB
所以PE=PF
因为OP=OP
所以RT△PEO全等于RT△PFO（HL）
所以∠AOP=∠BOP

2. p为<abc内一点,oa=ob,△opa与△opb面积相等,求证<aop=<bopo人

证明：过P点分别作PC、PD垂直OA、OB，垂足为C、D，  ∵△OPA与△OPB面积相等，     ，  即  ，  又∵OA=OB，  ∴PC=PD，  又∵PC⊥OA，PD⊥OB，  ∴点P在∠AOB的角平分线上，   ∴∠AOP=∠BOP。

3. 如图，P为∠AOB内一点， ， 分别是P关于OA、OB的对称点， 交OA于M,交OB于 N,若 =8㎝，则△PMN的

     C         解：∵OA和OB分别是△PMP 1 和△PNP 2 的对称轴，∴PM=MP 1 ，PN=NP 2 ；∴P 1 M+MN+NP 2 =PM+MN+PN=P 1 P 2 =8cm，∴△PMN的周长为8cm．故选C.    

4. 如图，∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，P到OA,OB的距离PM,PN分别为2和11，求OP的长

做延长线NP 交 AO于 C
算CP 用sin（30°）
算CM 用tan（30°）
算OM 用 OC 减 CM。OC来自CN = CP +PN　然后除sin（60°）
用勾股定理算OP

5. 如图，∠AOB=60°，点C在OB (1)求作:点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PO=OC.(

作法：①作∠AOB的角平分线OX，
②在OX上截取OP=OC，
则P为所求。
 
⑵过P作PQ⊥OA于Q，
∵∠POQ=30°，PQ=4㎝，∴OP=8㎝，
∴OC=OP=8㎝。

6. 如图，Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB，且△OAB的面积为9，函数y＝kx（x＞0）的图象经过点B．（1）求点B的

（1）∵Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB，∴S△OAB=12OA?AB=9，∴OA=AB=32，∴B（32，32），（2）k=2S△OAB=18，所以反比例函数的解析式为y=18x．

7. 如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积为 ...

       .         试题分析：由AB为圆的切线，得到OC垂直于AB，再由OA=OB，利用三线合一得到C为AB中点，且OC为角平分线，在Rt△AOC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出AB的长，求出∠AOB度数，从而根据阴影部分面积=△AOB面积-扇形面积，求出即可：∵AB与圆O相切，∴OC⊥AB.∵OA=OB，∴∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°.在Rt△AOC中，∠A=30°，OA=4，∴OC=  OA=2，∠AOC=60°.∴∠AOB=120°，  .∴AB="2AC="   .∴  .    

8. 如图，E为∠AOB内一点,OC=OD,且△OCE和△ODE的面积相等,求证:∠AOE=∠BOE

过E点作EM垂直于AO，过E点作EN垂直于BO
OC=OD,且△OCE和△ODE的面积相等
所以EM=EN
对于直角三角形EOM和EON来说，EO是公共边，EM=EN
故EOM和EON全等
所以∠AOE=∠BOE